|
Matritsalarni qo‘shish
3-ta’rif (Matritsalarni qo‘shish va ayirish). Bir hil mxn o‘lchamli A va B matritsalarning yig‘indisi (ayirmasi) deb, xuddi shunday o‘lchamli matritsaga aytiladiki, bu matritsaning har bir elementi A va B matritsalarning mos elementlarining yig‘indisidan (ayirmasidan) iborat bo‘ladi.
Agar A=(aij) va B=(bij) matritsalarning o‘lchamlari bir xil bo‘lsa u holda
(A+B)ij=(A)ij+(B)ij=aij+bij (5)
bo‘ladi va ayirma uchun quyidagi o‘rinli:
(A-B)ij=(A)ij-(B)ij=aij - bij (6)
Misol-1. (Matritsalarni qo‘shish va ayirish)
Quyidagi matritsalarni ko‘ramiz
A= , B= , F=
Mumkin bo‘lgan matritsalarni qo‘shing va ayiring.
Yechish:
A+B = A-B =
F matritsa bilan A va B matritsalarni qo‘shish yoki ayirish mumkin emas, chunki ularning o‘lchamlari har xil. Buni biz Maple dasturidan foydalanib uning xatoligini yaqqol ko‘rishimiz mumkin:
4- tarif. (Matritsani songa ko‘paytirish)
A matritsani qandaydir c soniga ko‘paytirish deb shunday cA matritsaga aytiladiki,
A matritsaning har bir elementlarini c soniga ko‘paytirishdan hosil bo‘ladi.
cA=c(A)ij=caij (7)
Misol-2. Matritsani songa ko‘paytirish. c= , b=-1 sonlarini
A= , B= , F=
matritsalarga ko‘paytmasini toping.
Yechish.
A =
B= =
-A= -B = -F =
Xususan 1A=A bo‘ladi.
A1,A2,…,An matritsalar bir xil o‘lchamli matritsalar va c1,c2,..,cn lar haqiqiy sonlar bo‘lsa, u holda
c1A1+c2A2+…+cnAn = (8)
bo‘ladi. Yuqoridagi ifoda A1,A2,…,An matritsalar va c1,c2,..,cn koeffitsiyentlarning chiziqli kombinatsiyasi deyiladi.
Misol-3.
Agar bo‘lsa, 5A – 2B matritsani toping.
Yechish.
Shunday qilib, 5A – 2B .
Biz hozirgacha faqat matritsalarni sonlarga ko‘paytirish ta’rifini berdik.Matritsalarni matritsalarga qo‘shishva ayirish uchun mos elementlarini qo‘shib
ayirdik, songa ko‘paytirish uchun har bir elementini shu songa ko‘paytirdik. Lekin matritsani matritsaga ko‘paytirishuchun boshqacha yo‘l tutiladi.
5-ta’rif. (Matritsalar ko‘paytmasi)
O‘lchami bo‘lgan A matritsa va o‘lchami bo‘lgan B matritsalarning ko‘paytmasi deb o‘lchami bo‘lgan shunday C matritsaga aytiladiki, uning har bir elementi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
(9)
Shunday qilib, element A matritsaning i - chi satrini matritsaning unga mos j - chi ustuniga ko‘paytmasining yig‘indisidan iborat ekan.
Matritsalarni ko‘paytirish amali kommutativ emas, ya’ni AB≠BA. Haqiqatdan ham, AB ko‘paytma mavjud bo‘lsa, o‘lchamlari to‘g‘ri kelmasligi sababli BA ko‘paytma umuman mavjud bo‘lmasligi mumkin. Agar AB va BA lar mavjud bo‘lsa ham, ularning o‘lchamlari har hil bo‘lishi mumkin.
Bir xil o‘lchamli kvadrat matritsalar uchun AB va BA ko‘paytmalar mavjud va ular bir xil o‘lchamga ega bo‘ladi, ammo umuman olganda mos elementlari teng bo‘lmaydi.
Misol-4.
Quyidagi matritsalarni bir-biriga ko‘paytirish mumkinmi yoki yo‘qmi? Shuni aniqlang. Agar ko‘paytma mavjud bo‘lsa, uni hisoblang.
A= va B=
Yechish. va matritsalarning o‘lchamlarini taqqoslaymiz. A(3x2), B(2x2).
Bundan , , shuning uchun AB (3x2) mavjud, ko‘paytma BA esa mavjud emas.
AB=
Misol-5. Quyidagi matritsalar berilgan bo‘lsin:
A= , B= AB matritsani toping.
Yechish: A matritsa (2x3), B matritsa (3x4) o‘lchamli bo‘lganligi uchun AB ko‘paytma (2x4) o‘lchamli bo‘ladi.
AB=
Matritsani matritsaga ko‘paytirish uchun A matritsaning satrlar soni B matritsaning ustunlar soniga teng bo‘lishi kerak. Agar bu shart bajarilmasa matritsalarning ko‘paytmasi mavjud emas.
mxr o‘lchamli A matritsaning rxn o‘lchamli B matritsaga ko‘paytmasi deb mxn o‘lchamli shunday matritsaga aytiladiki, uning elementi A matritsaning i-satri elementlarini B matritsaning j-ustunidagi mos elementlariga ko‘paytmalari yig‘indisiga teng,
AB= (10)
ya’ni (AB)ij= (11)
Bu ifoda Eynshteyn yig‘indisi deb ham aytiladi.
Matritsalarning yuqorida ko‘rib chiqqan standart ko‘paytmasidan tashqari ularning Kroneker ko‘paytmasi ham mavjud.
6-ta’rif. (Kroneker ko‘paytmasi) mxn o‘lchamli A matritsaning rxs o‘lchamli B matritsaga Kroneker ko‘paytmasi nrxms o‘lchamli shunday matritsaga aytamizki, u quyidagicha hosil qilinadi:
AB=
Kroneker ko‘paytmasidan tashqari Kroneker ayirmasi va Kroneker yig‘indisi ham mavjud: AB=AIn+InB vaAӨB = AIn - InB bu erda In– birlik matritsa.
Misol-6. (Kroneker ko‘paytmasi)
A va B matritsalar berilgan bo‘lib ularning Kroneker ko‘paytmasini toping.
A= , B=
Yechish: Kroneker ko‘paytma [A,B]
Misol-7. A va B matritsalar berilgan bo‘lib AB BA ni isbotlang.
A= , B=
Do'stlaringiz bilan baham: | 
