2-Ma’ruza Matritsa tushunchasi. Matritsaning asosiy turlari. Matritsa ustida amallar. Teskari matritsa va uni tuzish. Matritsaning rangi. Matritsalar nazariyasining energetika masalalarini yechishga tatbiqlari haqida. Ma’ruza rejasi

Yechish: AB=_{ } , BA=_{ } demak, AB≠BA.

Ko‘paytirishning kommutativlik xossasi matritsalar uchun o‘rinli bo‘lmasa ham arifmetik aning boshqa ko‘pgina xossalari matritsalar uchun ham o‘rinli bo‘ladi.

Matritsa ustida amallarning asosiy xossalari:

1. 
   A+B = B+A
   
2. 
   A+(B+C)=(A+B)+C
   
3. 
   A·(B·C) =(A·B)·C
   
4. 
   A· (B+C)=A·B+A·C 
   
5. 
   (B+C)·A=B·A+C·A
   
6. 
   A·(B-C)=A·B-A·C
   
7. 
   (B-C)·A=B·A-C·A
   
8. 
   a(B+C)=aB+aC
   
9. 
   a(B-C)= aB-aC
   
10. 
    (a+b)·C=aC+bC
    
11. 
    (a-b)·C=aC+bC
    
12. 
    a(bC)=(ab)C
    
13. 
    a(BC)= (aB)C= B (a C)
    

Misol-8. Ko‘paytirishning assotsiativlik xossasi. A,B,C matritsalar berilgan. (AB)C=A(BC) ni isbotlang.
A=_{ }, B=_{ }, C=_{ },

Isbot. AB=A B=_{ }, AB·C=_{ }, BC=_{ }

F=A·BC=_{ }, demak, AB·C =A BC


Nol matritsalar

Barcha elementlari noldan iborat bo‘lgan matritsaga nol matritsa deyiladi.


Masalan:

_{ },_{ }, _{ }, _{ }, (0). (12)


Nol matritsalarning xossalari:

1. A+0=0+A

2. A-A=0

3. 0-A=-A

4. A 0=0 va 0 A=0.




Birlik matritsalar

Bosh diagonalida turgan elementlari birga, qolgan elementlari nolga teng bo‘lgan kvadrat matritsa birlik matritsa deb ataladi va I_n bilan belgilanadi.

_{ }, _{ } (13)

Agar A mxn o‘lchamli matritsa bo‘lsa, u holda quyidagi tenglik o‘rinli:

A I_n = A va I_n A= A (14)

Yoki ba‘zi hollarda I_n= I deb ham yuritiladi.

Misol-9. A=_{ } matritsa berilgan. Yuqoridagi (14) tenglikni isbotlang.

Isbot:

A·_{ }=_{ }=<sub> 

 </sub>= _{ }

A=_{ }matritsaning transponirlangan matritsasi deb, satrlari mos ustunlari bilan almashtirilgan A^t =_{ } matritsaga aytiladi.

Ikkinchi tartibli kvadrat matritsaning teskari matritsasi


7-Ta’rif. Agar AA^-1=A^-1A=I kabi bo‘lsa, A^-1 kvadrat matritsa, o‘shanday tartibli A kvadrat matritsaga teskari matritsa deyiladi va A matritsa xosmas matritsa deyiladi. Berilganmatritsaga teskari matritsa mavjud bo‘lmasa, A matritsa xos matritsa deyiladi.



Misol-10. A=_{ }, B=_{ } matritsalar berilgan. B matritsaning A ga teskari matritsa ekanini isbotlang.

Isbot. Ta’rifga binoan AB=I bo‘lishi kerak.

AB=A B=_{ }=_{ }= I
BA=B A=_{ }=_{ }= I

1-Teorema.

A=_{ } ikkinchi tartibli kvadrat matritsaga teskari matritsa deb

A^-1 =_{ } matritsaga aytiladi.

Isbot. Biz A A^-1A^-1 Aekanligini ko‘rsatishimiz kerak, ya’ni

A=_{ }, A^-1 =_{ }

A A^-1=_{ }=_{ }
A^-^1·A= _{ }


2-Teorema. Agar bir xil o‘lchamli A va B matritsalarning teskarisi mavjud bo‘lsa, u holda (A B)^-1 =B^-1 A^-1 bo‘ladi.



Isbot. Agar bir xil o‘lchamli Ava B matritsalarning teskarisi mavjud bo‘lsa, u holda

(A B) ( B^-1 A^-1)= A  (B B^-1) A^-1=A I A^-1=A A^-1=I

bo‘ladi, ammo

( B^-1 A^-1) (A B)=I.

Shuni isbot qilishimiz kerak edi.

Transponirlangan matritsa


8– ta’rif. A (nxn) o‘lchovli matritsa bo‘lsin, u holda

C matritsa A matritsaning algebraik to‘ldiruvchilaridan tuzilgan matritsa deyiladi. Bu matritsaning transponirlangani A matritsaga qo‘shma deyiladi va quyidagicha belgilanadi _{ } ^T.

A matritsa berilgan bo‘lsin

Algebraik to‘ldiruvchilari va qo‘shmasini toping.

Yechish: Algebraik to‘ldiruvchilardan tuzilgan matritsa quyidagicha bo‘ladi

Uning transponirlangan matritsasini topamiz

_{ }=_{ }

Endi bu matritsaga teskari matritsani topish formulasini chiqaramiz. Buning uchun keyin isbotlanadigan quyidagi tasdiqdan foydalanamiz: A matritsaga teskari matritsa faqat va faqat det(A)≠0 bo‘lgandagina mavjud.

3-Teorema. (Teskari matritsa) Agar A matritsaga teskari matritsa mavjud bo‘lsa u quyidagiga teng:

A^-1=_{ } ^T

(bu yerda detA=1)

Isboti. det(A) skalyar miqdor bo‘lgani uchun quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:

det(A) A^-1= _{ } ^T

Bu tenglikning ikkala tomonini chap tomondan A matritsaga ko‘paytiramiz:

det(A) AA^-1=A _{ } ^T

det(A) I =A_{ } ^T

Endi tenglikning o‘ng tomonini ko‘paytiramiz

A _{ } ^T ning i-satri va j-ustuni elementlari quyidagicha bo‘ladi:

Agar i=j bo‘lsa, u holda bu yoyilma det(A) ning algebraik to‘ldiruvchilari bo‘lib qoladi. Agar i≠j bo‘lsa, u holda matritsaning elementlari va algebraik to‘ldiruvchilari turli satrdan bo‘ladi va yoyilma 0 ga teng.

Demak,

A_{ } ^T=_{ } = det(A)A

A matritsaning teskarisi mavjud det(A)≠0. Shuning uchun quyidagicha yozish mumkin

_{ } ^T =I yoki A·_{ } ^T= I

va nihoyat

(_{ } ^T)=A^-1


Eslatma. A matritsaning teskari matritsasi A^-1=_{ } ^T

formula orqali topiladi.

Yuqoridagi natijani (3x3) matritsa uchun quyidagicha tekshirib ko‘rish mumkin:

A=_{ }

Algebraik to‘ldiruvchilarni topamiz

va transportirlangan matritsaga ko‘paytiramiz, natijada

va det(A).I₃ ni topdik.

Misol-11. _{ } ^T bo‘yicha A matritsaning teskari matritsasini toping.

A.A^-1=I tenglik orqali tekshiring.



Yechish. Berilgan matritsaning determinanti

detA=|A|_{ }0

0 ga teng emas, demak A ning teskari matritsasi mavjud

Matritsaning rangi va uni hisoblash
To‘g‘ri burchakli A matritsa berilgan bo‘lsin. Bu matritsaning k ta satr
va k ta ustunini ajratib olsak, hosil bo‘lgan k- tartibli matritsaning
determinantiga A matritsaning k- tartibli minori deb ataladi. A matritsaning turli tartibli minorlari orasida nolga teng bo‘lganlari ham noldan farqli bo‘lganlari ham mavjud bo‘lishi mumkin.

9-Ta’rif. Agar A matritsaning k- tartibli minorlari orasida noldan
farqlisi bo‘lib, undan yuqori tartibdagi barcha minorlari nolga teng bo‘lsa,
bu matritsaning rangi k ga teng deyiladi va rangA=k kabi belgilanadi.

Matritsaning rangini ta’rif bo‘yicha topish ancha noqulay bo‘lib, biz qulayroq bo‘lgan usulni keltiramiz.

Matritsa ustidagi quyidagi almashtirishlar elementar almashtirishlar deb ataladi:

a) Faqat nollardan iborat satr yoki ustunni o‘chirish;

b) Ikkita satrning (ustunning) o‘rnini almashtirish;

v) Ixtiyoriy satr (ustun) elementlarini biror songa ko‘paytirib boshqasiga qo‘shish;

g) Satr (ustun)ning barcha elementlarini noldan farqli songa ko‘paytirish.

Bir- biridan faqat elementar almashtirishlar bilan farqlanuvchi matritsalar o‘zaro ekvivalent deyiladi.

Teorema-4. Ekvivalent matritsalarning rangi o‘zaro teng bo‘ladi.

Teorema-5. Agar matritsaning rangi k ga teng bo‘lsa, u holda bu
matritsada k ta chiziqli erkli satr yoki ustun topiladi, qolganlari bu satr
yoki ustunlarlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat, ya’ni elementar
almashtirishlar yordamida bu matritsani k ta satr yoki ustuni noldan farqli,
qolganlari nol bo‘lgan ko‘rinishga keltirish mumkin.

Misol-12. Ushbu matritsaning rangi hisoblansin

Elementar almashtirish usulidan foydalanamiz. Birinchi satr va birinchi ustun kesishgan joyda turgan ”1” dan foydalanib 1- ustundagi barcha elementlarni

nolga aylantiramiz. Buning uchun birinchi satrni (-2), (-3) va (-1) ga
ko‘paytirib mos ravishda 2-, 3- va 4- satrlarga qo‘shamiz:

Ikkinchi va uchinchi satrlar o‘rnini almashtiramiz va 2- ustun

kesishgan joyda turgan (-1) yordamida ikkinchi ustundagi undan pastda
turgan elementlarni nolga aylantiramiz. Buning uchun ikkinchi satrni (-3)
ga ko‘paytirib uchinchi va to‘rtinchi satrlarga qo‘shamiz:

Uchinchi satrni (-15) ga to‘rtinchi satrni 16 ga ko‘paytirib 3- va 4-

satrlarni qo‘shamiz

Demak yuqoridagi 1- va 2- teoremalarga asosan berilgan matritsaning

rangi 3 ga teng.