2-ma'ruza. Matematik modellashtirishdagi asosiy atamalar. Matematik modellarning turlari

2 Лекция 2. Основные термины в математическом моделировании. Виды математических моделей
Содержание лекции:
- основные понятия математического моделирования; виды математических моделей.
Цель лекции:
- изучить основные понятия математического моделирования и виды математических моделей.
2.1 Основные термины в математическом моделировании
Каждая математическая модель представляет собой упорядоченную комбинацию таких составляющих как компоненты, переменные, параметры, функциональные зависимости.
Под компонентами модели понимают составные части, которые при соответствующем объединении образуют систему. Компоненты могут быть либо неделимые структурные образования ("элементы" модели), либо составные части, являющиеся "подсистемами".
Обычно входы и выходы системы называют переменными, остальные величины – параметрами. Эти допущения приняты условно. Без каких-либо дополнительных соглашений ответить невозможно, где переменные, а где параметры. В качестве такого соглашения может быть принят, например, класс функций. Деление переменных на входные и выходные тоже не является абсолютным. Это справедливо по отношению к определенной системе. Надо исходить из конкретной характеристики всей изучаемой системы. Входы системы (экзогенные переменные) порождаются вне изучаемой системы и являются результатом действия внешних причин. Выходы (эндогенные переменные) возникают в системе в результате действия на нее экзогенных переменных.
Главные составляющие модели – функциональные зависимости, которые описывают поведение переменных и параметров системы или компонента. Обычно они устанавливают внутренние отношения между экзогенными (х) и эндогенными (у) переменными либо между переменными и зависимыми от них параметрами (р):
а) y = φ(p,x),
б) р = ψ(x,y). 
Функции φ часто называют операторными (или просто операторами), а функции ψ – параметрическими. Закон функционирования системы, может быть задан аналитически, графически, таблично и т.д.
Последняя составляющая моделей – ограничения. В простейшем случае к ограничениям относят область изменения вектора аргументов модели xD_x. Параметры модели тоже могут задаваться на некотором разрешенном множестве pD_p.
Чаще всего считается, что моделируемая система не оказывает действия на окружающую среду. Вопрос о допустимости пренебрежения внешней средой должен быть обоснован.
2.2. Основные виды математических моделей
Создание некоторой универсальной модели, отвечающей различным аспектам ее применения, практически невозможно. Для получения информации, отражающей те или иные свойства управляемого объекта, необходима классификация моделей. В основе классификации лежат особенности оператора φ. Все многообразие объектов управления, исходя из временного и пространственного признаков, можно разделить на следующие классы: статические или динамические; линейные или нелинейные; непрерывные или дискретные во времени; стационарные или нестационарные; процессы, в ходе которых их параметры изменяются в пространстве, и процессы без пространственного изменения параметров. Так как математические моделии являются отражением соответствующих объектов, то для них характерны те же классы. Полное наименование модели может включать в себя совокупность перечисленных признаков. Эти признаки послужили основой названия соответствующих типов моделей.
В зависимости от характера изучаемых процессов в системе все модели могут быть разделены на следующие виды:
Детерминированные модели – отображают детерминированные процессы, то есть процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий.
Стохастические модели – отображают вероятностные процессы и события; в этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса, и оцениваются средние характеристики.
Стационарные и нестационарные модели. Модель называется стационарной, если вид оператора φ и его параметры p не изменяются во времени, то есть, когда справедливо
φ[p(t),x]= φ[p(t+τ),x], т.е. y= φ(p,x).
Если же параметры модели изменяются во времени, то модель является
параметрически нестационарной
y= φ[p(t),x].
Самый общий вид нестационарности – когда от времени зависит и вид функции. Тогда в запись функции добавляется еще один аргумент
y= φ(p,t,x).