2-ma'ruza. Matematik modellashtirishdagi asosiy atamalar. Matematik modellarning turlari

2.2. Matematik modellarning asosiy turlari

Uni qo'llashning turli jihatlariga javob beradigan universal modelni yaratish deyarli mumkin emas. Boshqariladigan ob'ektning ma'lum xususiyatlarini aks ettiruvchi ma'lumotni olish uchun modellarning tasnifi zarur. Tasnifi ayniqsa operator hisoblanadi cp . Vaqtinchalik va mekansal xususiyatlarga asoslangan boshqaruv ob'ektlarining butun turini quyidagi sinflarga bo'lish mumkin: statik yoki dinamik; chiziqli yoki chiziqli bo'lmagan; uzluksiz yoki diskret o'z vaqtida; statsionar yoki statsionar bo'lmagan; ularning parametrlari kosmosda o'zgaradigan jarayonlar va parametrlarning fazoviy o'zgarmasdan o'zgarishi. Matematik modellar mos keladigan ob'ektlarning aksi bo'lgani uchun, ular bir xil sinflar bilan ajralib turadi. Modelning to'liq nomi ro'yxatda keltirilgan xususiyatlarning kombinatsiyasini o'z ichiga olishi mumkin. Ushbu belgilar tegishli turdagi modellarning nomlari uchun asos bo'lib xizmat qildi.
Tizimda o'rganilayotgan jarayonlarning xususiyatiga qarab, barcha modellarni quyidagi turlarga bo'lish mumkin.
Deterministik modellar  - deterministik jarayonlarni aks ettiradi, ya'ni tasodifiy ta'sirlar bo'lmasligi taxmin qilinadigan jarayonlar.
Stoxastik modellar - ehtimoliy jarayonlar va voqealarni namoyish qilish; bu holda tasodifiy jarayonning bir qator realizatsiya qilinishi tahlil qilinadi va o'rtacha xususiyatlar baholanadi.
Statsionar  va statsionar bo'lmagan modellar.  Agar operator shakli φ va uning parametrlari vaqt ichida o'zgarmasa, ya'ni model statsionar deb nomlanadi, ya'ni, qachon 
φ [p (t), x] = φ [p (t + τ), x], ya'ni. y = φ (p, x).
Vaqt o'tishi bilan modelning parametrlari o'zgarsa, u holda model
parametrik ravishda beqaror
y = φ [p (t), x].
Statsionar bo'lmaganlikning eng umumiy shakli - bu funktsiyaning turi vaqtga bog'liq. Keyin funktsiya kiritilishiga yana bir dalil qo'shiladi
y = φ (p, t, x).
Statik va dinamik modellar.  Model turlarini bunday ajratishning asosi o'rganilayotgan ob'ektning moddiy tizim sifatida harakatidir.
Davlat o'zgaruvchilar chiqishi rejali - o'rinlardan boshqaruv vazifalar bilan modellari gapirganda, bir kosmik geometrik emas makon va davlat makon sifatida bu erda belgilangan ta'kidlash lozim bor . Y vektorining elementlari odatda boshqariladigan texnologik parametrlar (oqim tezligi, bosim, harorat, namlik, yopishqoqlik va boshqalar). Ob'ektning o'zi uchun y vektori elementlarining tarkibi ushbu ob'ektning modeliga qaraganda kengroq bo'lishi mumkin, chunki modellashtirish haqiqiy tizim xususiyatlarining faqat bir qismini o'rganishni talab qiladi. Nazorat ob'ektining holatini fazoda va vaqt ichida y (t) vektor jarayonidan foydalangan holda hisoblab chiqiladi. 
Agar tizimning holati o'zgarmasa, ya'ni tizim muvozanatda bo'lsa, lekin harakat muvozanatdagi jismning statik holati bilan bog'liq bo'lsa, tizim modeliga statik deyiladi . Statik modellardagi matematik tavsif vaqtni o'zgaruvchi sifatida o'z ichiga olmaydi va taqsimlangan parametrlarga ega ob'ektlar holatida algebraik tenglamalardan yoki differentsial tenglamalardan iborat. Statik modellar odatda chiziqli emas. Ular ob'ektning bir rejimdan boshqasiga o'tishi natijasida yuzaga kelgan muvozanat holatini aniq aks ettiradi.
Dinamik model vaqt o'tishi bilan ob'ekt holatining o'zgarishini aks ettiradi. Bunday modellarning matematik tavsifi albatta vaqt derivativini o'z ichiga oladi. Dinamik modellarda differentsial tenglamalar qo'llaniladi. Ushbu tenglamalar uchun aniq echimlar faqat ma'lum bir differentsial tenglamalar uchun ma'lum. Ko'pincha taxminiy bo'lgan raqamli usullardan foydalanishga murojaat qilish kerak.
Tekshirish maqsadlari uchun dinamik model kirish va chiqish parametrlarini bir-biriga bog'laydigan uzatish funktsiyasi sifatida taqdim etiladi.
Chiziqli va chiziqli bo'lmagan modellar.  Matematik jihatdan, L ( x ) funktsiya ,  agar chiziqli bo'lsa 
L (λ ₁ x ₁ + λ ₂ x ₂ ) = λ ₁ L (x ₁ ) + λ ₂ L (x ₂ ).
Xuddi shunday, ko'p o'zgaruvchilar funktsiyalari uchun. Faqatgina algebraik qo'shish va o'zgaruvchini doimiy koeffitsientga ko'paytirish operatsiyalaridan foydalanish chiziqli funktsiyaga xosdir. Agar model operatori uchun ifodada  chiziqli bo'lmagan operatsiyalar mavjud bo'lsa, u holda model chiziqli emas , aks holda model chiziqli bo'ladi .
Parchalangan va taqsimlangan parametrlarga ega modellar.  Ta'kidlash kerakki, kiritilgan terminologiyani hisobga olgan holda, model nomida "parametrlar" so'zining o'rniga "davlat koordinatasi" tushunchasini ishlatish yanada to'g'ri bo'ladi. Biroq, bu texnologik jarayonlarni modellashtirish bo'yicha barcha ishlarda tez-tez uchraydigan belgilangan ism.
Agar asosiy jarayon o'zgaruvchilari vaqt ichida ham, fazoda ham (yoki faqat fazoda) o'zgarsa, bunday jarayonlarni tavsiflovchi modellar taqsimlangan parametrlarga ega modellar deb ataladi . Bunday holda, z = ( z ₁ , z ₂ , z ₃ ) geometrik bo'shliq kiritiladi va tenglamalar quyidagi shaklga ega bo'ladi:
y (z) = φ [p (z), z, x)], p (z) = ψ [y (z), z, x].
Ularning matematik tavsifiga odatda fazoviy koordinatali statsionar jarayonlar holatida qisman differentsial tenglamalar yoki oddiy differentsial tenglamalar kiradi.
Agar ob'ekt holatining koordinatalarining fazoviy notekisligini e'tiborsiz qoldirsak, ya'ni. gradient , keyin mos keladigan model kesilgan parametrlarga ega bo'lgan modeldir . Ular uchun, massa va energiya, xuddi shu tarzda, bir nuqtada jamlangan.
Uch o'lchovli bo'sh joy har doim ham talab qilinmaydi. Masalan, ishlaydigan suyuqlik va yupqa devorli qobiq bilan ishlaydigan rulonning modeli odatda ob'ektning bir o'lchovliligidan kelib chiqadi - faqat bobinning uzunligi hisobga olinadi. Shu bilan birga, qalin devor orqali ishlaydigan suyuqlikning cheklangan hajmiga issiqlik uzatish jarayoni faqat qobiq qalinligini va boshqalarni hisobga oladigan bir o'lchovli model bilan tavsiflanishi mumkin. Muayyan ob'ektlar uchun mos keladigan tenglamalar shakli asoslashni talab qiladi.
Modellar vaqt o'tishi bilan uzluksiz va diskretdir.  Uzluksiz modellar tizimlardagi uzluksiz jarayonlarni aks ettiradi. Vaqtga nisbatan ob'ektlarning holatini doimiy argument sifatida tavsiflovchi modellar doimiy (vaqt bo'yicha):
y (t) = φ [p (t), x (t)], p (t) = ψ [y (t), x (t)].
Diskret modellar diskret deb taxmin qilingan jarayonlarni tasvirlash uchun ishlatiladi. Diskret model ob'ekt vaqtini diskret vaqt namunalari orasidagi vaqt davomida bashorat qila olmaydi. Agar vaqt o'lchovini ∆t qadam bilan kiritsak, u holda diskret shkalani ko'rib chiqamiz , bu erda i = 0,1,2 ... - nisbiy vaqtning ma'nosini oladi. Va diskret model:
y (i) = φ [p (i), x (i), ∆t]; p (i) = ψ [x (i), y (i), ∆t].
Bosqich oftini to'g'ri tanlash bilan, diskret modeldan oldindan aniqlik bilan natijani kutish mumkin. ∆t o'zgarganda, farq tenglamasining koeffitsientlari qayta hisoblanishi kerak.
Diskret uzluksiz modellar  diskret va uzluksiz jarayonlarning mavjudligini ta'kidlashni istagan holatlar uchun ishlatiladi.
Matematik modellarga qo'yiladigan talablar: aniqlik - model tomonidan taxmin qilingan ob'ekt parametrlari qiymatlarining ularning haqiqiy qiymatlari bilan muvofiqligi darajasini aks ettiruvchi xususiyat; kompyuter vaqtining iqtisodiy qiymati; universallik - bir xil turdagi ob'ektlar guruhini tahlil qilishda qo'llash.