2-маъруза: Элементар ходисалар фазоси. Ходисалар алгебраси.(2 cоат)

Σ Р()=1


Бу холда Р функция  да эхтимолликлар таксимотини беради, дейилади

Ихтиёрий А ходиса эхтимоллиги
Р(А)=Σ Р()


йигинди оркали аникланади. Масалан, шошкол тош ташлаш тажрибаси учун аникланган p(₁=...=ω₆)=1/6 , элементар ходисалар учун

p(ω₁)=...=p(ω₆)
Агар А={шошкол тошда жуфт ракам тушади}- тасодифий ходисани киритсак, р(А)=3/6=1/2, чунки бу холда А={ω₂, ω₄,ω₆}.
Юкорида аникланган эхтимоллик куйидаги хоссаларга эга:
1)P(Ø)=0, P(Ω)=1
2) P(A+B)=
3) P(A)=1-P(A)

Бу ердан, хусусан,биргаликда булмаган ходисалар учун

Р(А+В)=Р(А) +Р(В)
Экани келиб чикади.
Эхтимоллик аддитивлигининг бундай формуласи жуфти-жуфти билан биргаликда булмаган ихтиёрий сондаги А₁,А₂,…,
A_i●A_j=Ø,i=j ходисалар учун хам уринлидир:

Юкорида келтирилган 2-хоссадан маълумки , Р(А+В)Р(А)+Р(В).
Бу формула ихтиёрий сондаги ходисалар йигиндиси учун хам уринлидир:



Текшириш саволлари:
1. Эµтимол нима?
2. Дискрет фазода эµтимол ³андай ани³ланади?
3. Эµтимолнинг ³андай хоссаларини биласиз?
Текшириш саволлари:
1. Т´ла группани ташкил этувчи µодисалар ³андай шартларни ³аноатлантиради?
2. Классик таъриф дискрет µолдаги умуий таърифдан ³андай шартларда келиб чи³ади.
-7 Маърузалар: Элементар ходисаларнинг ихтиёрий фазоси. Эхтимоллар назарияси аксиомалари (4 соат)
Дарс режаси:
1. Ихтиёрий фазо учун ходисалар ва сигма алгебраси тушунчаси
2. Эхтимолни аксиоматик таърифи
3. Аксиоматик таърифдан келиб чикадиган хоссалар ва хулосалар

Адабиёт:

1. 
   А.А.Боровков. Теории вероятностей. Наука 1986
   
2. 
   Б.В. Гнеденко Курс теории вероятностей. Наука 1986
   
3. 
   С.Х.Сирожиддинов , М.М.Маматов. Эхтимоллар назарияси ва математик статистика. Укитувчи. 1980
   

Биз 3-4 маърузаларда бирор тасодифий ходисанинг эхтимоллиги уни ташкил этувчи элементар ходисалар эхтимолликлари йигиндиси оркали аникланиши мумкинлигини курсатган эдик. Бунда биз  элементлар фазоси  куп билан санокли булиши кераклигини таъкидлаб утган эдик. Аммо шундай тажрибалар борки улар мос  фазо континиум типда булиши мумкин экан. Масалан, бирор [а,b] кесмага таваккалига нукта ташлаш тажрибаси (айтайлик-температурани улчаш) континиум натижаларга эга , чунки натижа сифатида шу кесманинг ихтиёрий нуктаси олиниши мумкин. Бундай холларда кесманинг ихтиёрий туплам остини ходиса булади деб хисоблаш нотугридир. Шу сабабли ходисалар сифатида туплам остиларнинг махсус синфлари алгебра ва

-алгебра (сигма алгебра) ларни киритамиз.
1-Таъриф. А туплам алгебра деб аталади, агар

(A)=ΩЄA булса;

(А2) ФЄА ва ВЄА эканидан ёки экани келиб чикади;
(A3) Агар АЄА булса , у холда АЄА;


2-таъриф.Тупламлар синфи F -алгебра деб аталади, агар (A2) хоса тупламларнинг ихтиерий {A_n} кетма-кетлиги учун уринли булса :

(А2)’{А_n}Є F эканидан келиб чикса.

Одатда F тупламни ходисаларни Борел майдони деб хам аталади.

Демак, алгебра-чекли сондаги тулдириш , бирлашма(ёки кесишма) амалларига нисбатан тупламларнинг санокли сондаги бажарилишига нисбатан тупламларнинг ёпик синфи экан.
Бир неча мисоллар келтирамиз:
1-Мисол:Ω={ω₁,ω₂ }булса А={Ø,Ω,ω₁,ω₂ };
Алгебра 4 та элементдан иборат.
2-Мисол: Ω={ω₁,ω₂,..,ω₆}-шошкол тош ташлаш тажрибасига мос келса А синф 2⁶ =64 элементдан иборат булади:
А={Ø,Ω,ω₁,ω₂,..,ω₆, {ω₁,ω₂ },{ω₂,ω₃ },...,{ω₅,ω₆},{ω₁,ω₂,ω₃ },...}
3-мисол: олдинги мисолни умулашмаси сифатида Ω={ω₁,ωn }-чекли фазо булса , А алгебра элементдан иборат булиб унинг ихтиёрий элементи булади.
Демак,  чекли туплам булса , А –алгебра  нинг барча туплам остиларидан иборат булади.
Агар  континиум типда булса , А нинг элементларин санаб булмайди, яъни А хам континиум типда булади .
4-мисол: [0.1] кесмадан олинган чекли сондаги кесма ва интерваллардан тузилган барча тупламлар алгебрани ташкил этади, аммо  -алгебрани ташкил этмайди.
Биз энди ходиса эхтимоли тушунчасини киритамиз. -фазо ва унинг туплам остиларидан тузилган А алгебрани оламиз.
3-Таъриф.(,А) жуфтликлардаги эхтимоллик А да аникланган сонли функция булиб , куйидаги хоссаларга эгадир
(А .Н.Колмогоров аксиомалари):
(В1) Р(А)0,АА;
(В2) Р()=1;
(В3) Агар {А_n} ходисалар кетма-кетлиги учун А_iА_j= Ø, i ,
булса , у холда


(1)
Шуни таъкидлаб утиш лозимки (В3) аксиомага чекли сондаги Аj ходисалар учун (1) аддитивлик ва куйидаги узлуксизлик аксиомалари эквивалентдир:
(В3), {В_n} ходисалар кетма-кетлиги учун ва шартлар бажарилса , у холда Р(Вn)Р(В) якинлашиш n да уринлидир.
4-Таъриф: (,А,Р)-учлик кенг маънодаги эхтимоллик фазоси деб аталади.
Умуман, (,А) ёки (,F) жуфтликлар улчовли фазолар деб аталади .
(,F,Р)-эхтимоллик фазосини тузиш хар тажрибанинг математик моделини тузишда энг асосий кадам хисоланади.
Энди эхтимолликнинг баъзи хоссаларини келтирамиз:

1. 
   Р(Ø)=0. Бу хосса Ø+= эканидан ва (В2),(В3) хоссалардан келиб чикади;
   
2. 
   Р(Ā)=1-Р(А),чунки А=Ā= ва АĀ=Ø;
   
3. 
   Агар АВ булса , Р(А)≤Р(В) булади. Бу хосса
   

Р(А)+Р(ĀВ)=Р(В) тенгликдан келиб чикади;
4) Р(А) ≤1-тенглик (В2) ва 3-хоссалар натижасидир;
5) Р(АВ)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ), чунки АВ=А+(В/АВ) ва Р(В\АВ)=Р(В)-Р(АВ);
6) Р(АВ)≤Р(А)+Р(В)-тенгсизик 5-хоссадан келиб чикади;


Демак,



9) Агар {Аn}- монотон усувчи тупламлар кетма-кетлиги (АnА_n+1) ва
Бу хосса (В3)‘ га эквивалент узлуксизликнинг бошка аксиомасидир.