2-ma’ruza. Chiziqli programmalashtirishning umumiy masalasi va uni geometrik talqini reja

Tengsizlikni tenglamaga aylantirish
noma’lumli
(13)
chiziqli tengsizlikni qaraymiz. Bu tengsizlikni tenglamaga aylantirish uchun uning kichik tomoniga qandaydir nomanfiy noma’lum son
(14)
ni qo‘shish kerak. Natijada ta noma’lumli chiziqli tenglama hosil bo‘ladi:
(15)
Berilgan (13) tengsizlikni tenglamaga aylantirish uchun qo‘yilgan noma’lum qo‘shimcha o‘zgaruvchi deb ataladi.
Teorema. Berilgan (13) tengsizlikning har bir yechimiga (15) tenglamaning faqat bitta yechimi mos keladi va aksincha, (15) tenglamaning har bir yechimiga (13) tengsizlikning faqat bitta yechimi mos keladi.
Isbot. Faraz qilaylik, (13) tengsizlikning yechimi bo‘lsin. U holda

bo‘ladi. Tengsizlikning chap tomonini o‘ng tomoniga o‘tkazib, o‘ng tomonda hosil bo‘lgan ifodani bilan belgilaymiz:

Endi (15) ning yechimi bo‘lishini ko‘rsatish mumkin. Haqiqatdan ham:

Agar (14) va (15) larni qanoatlantirsa, u (13) tengsizlikni ham qanoatlantirishini ko‘rsatamiz.
Shartga ko‘ra:
, (16)
.
(16) tenglikning chap tomondagi hadni tashlab yuborish natijasida
(17)
tengsizlik hosil bo‘ladi. Demak, bundan ko‘rinadiki, (1.3.13) tengsizlikning yechimi ekan.
Shunday yo‘l bilan chiziqli programmalash masalasining chegaralovchi shartlaridagi tengsizliklarni tenglamaga aylantirish mumkin. Bunda shunga e’tibor berish kerakki, sistemadagi turli tengsizliklarni tenglamaga aylantirish uchun qo‘shiladigan qo‘shimcha o‘zgaruvchilar bir- biridan farqli bo‘lishi kerak. Masalan, agar chiziqli programmalash masalasining matematik modeli
(18)
(19)
(20)
ko‘rinishda bo‘lsa, bu masaladagi tengsizliklarni kichik tomoniga qo‘shimcha o‘zgaruvchilar qo‘shish yordamida tenglamalarga aylantirish mumkin. Bu o‘zgaruvchilar ga 0 koeffitsiyent bilan kiritiladi. Natijada berilgan (18)-(20) masala quyidagi ko‘rinishga keltiriladi:
(21)
(22)
(23)
Xuddi shuningdek
(24)
, (25)
(26)
ko‘rinishda berilgan chiziqli programmalash masalasini kanonik ko‘rinishga keltirish mumkin. Buning uchun qo‘shimcha o‘zgaruvchilar tengsizliklarning katta tomonidan ayriladi. Natijada quyidagi masala hosil bo‘ladi.
(27)
(28)
(29)