2-jadvaldagi funktsiyalardan bir qismi trivial hisoblanadi. Masalan, f0=0, f15=1 va f3= x0, f5= x1. Ularning ichida ikkitasi elementar funktsiyalardir - f10= , f12= . f2 va f4 funktsiyalari esa mos holda x0 va x1 bo’yicha ta’qiqi funktsiyalari hisoblanadi.
Qolganlarini qisqacha tavsiflaylik:
- x0 va x1 mantiqiy o’zgaruvchilarning diz’yunktsiyasi. Qisqacha x0 va x1 ning diz’yunktsiyasi. x0x1 kabi belgilanadi. « x0 yoki x1 » deb o’qiladi. Ta’rifi: x0 va x1 mantiqiy o’zgaruvchilarning diz’yunktsiyasi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x0 va x1 yolg’on bo’lgandagina yolg’on hisoblanadi (3-jadval).
x0 va x1 mantiqiy o’zgaruvchilarning kon’yunktsiyasi. x0 x1 kabi belgilanadi. « x0 ham x1 » deb o’qiladi. Ta’rifi: x0 va x1 ning kon’yunktsiyasi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x0 va x1 haqiqiy bo’lgandagina haqiqiy hisoblanadi (4-jadval).
- x0 va x1 mantiqiy o’zgaruvchilarning teng qiymatliligi. x0 x1 kabi belgilanadi. « x0x1ga teng qiymatlik» deb o’qiladi. Ta’rifi: x0 va x1 ning teng qiymatliligi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x0 va x1 haqiqiyliklari mos kelgandagina haqiqiy hisoblanadi (5-javdal).
- x0 va x1ni 2 ning moduli bo’yicha qo’shish. x0 x1 kabi belgilanadi. « x0 ni x1 ga 2 ning moduli bo’yicha qo’shish» deb o’qiladi. Ta’rifi: x0 va x1 ni 2 ning moduli bo’yicha qo’shish murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x0 va x1 ning haqiqiyliklari mos kelmaganda haqiqiy hisoblanadi (6-jadval). Ba’zi adabiyotlarda bu funktsiyani teng qiymatlilikning inkori deb ham atashadi.
3-jadval
4-jadval
5-jadval
6-jadval
00=0
01=1
10=1
11=1
00=0
01=0
10=0
11=1
00=1
01=0
10=0
11=1
00=0
01=1
10=1
11=0
- x0 va x1ning implikatsiyasi. x0 x1 kabi belgilanadi. «Agar x0, unda x1» deb o’qiladi. Ta’rifi: x0 va x1 ning implikatsiyasi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x0 haqiqiy, x1 yolg’on bo’lgandagina yolg’on hisoblanadi (7-jadval). Ta’kidlash lozimki, implikatsiya sabab va oqibat orasidagi bog’lanish ma’nosiga ega emas, ya’ni x0 ning haqiqiyligidan x1 ning haqiqiylik sharti kelib chiqmaydi. Aksincha, implikatsiya yordamida tuzilgan murakkab fikrning haqiqiyligi uchun x0 ning yolg’onligi kifoya. f13 funktsiya x1 x0 ga mos keladi.
- x0 va x1ning Sheffer shtrixi. x0 / x1 kabi belgilanadi. « x0 shtrix x1» deb o’qiladi. Ta’rifi: x0 va x1ning Sheffer shtrixi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x0 va x1haqiqiy bo’lgandagina yolg’on hisoblanadi (8-jadval).
- x0 va x1ningPirs strelkasi. x0 x1kabi belgilanadi. « x0 Pirs strelkasi x1» deb o’qiladi. Ta’rifi: x0 va x1ning Pirs strelkasi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x0 va x1yolg’on bo’lgandagina haqiqiy hisoblanadi (9-jadval).
7-jadval
8-jadval
9-jadval
00=1
01=1
10=0
11=1
00=1
01=1
10=1
11=0
00=1
01=0
10=0
11=0
Yuqorida ko’rilgan elementar mantiqiy funktsiyalar yordamida ixtiyoriy MAFni tavsiflash mumkin.
10-jadvalda uchta o’zgaruvchili mantikiy funktsiya uchun haqiqatlik jadvali keltirilgan.
10-jadval
To’plam tartib raqami
x1, x2, x3 to’plamlari
f funktsiya qiymati
0
1
2
3
4
5
6
7
000
001
010
011
100
101
110
111
0
0
0
1
0
1
1
1
Mantiq algebrasi elementar funktsiyalarining xususiyatlari 2-jadvaldan ko’rinib turibdiki, elementar funktsiyalar o’zaro ma’lum bog’lanishlarga ega. Bu bog’lanishlarni hamda elementar funktsiyalarning xususiyatlarini ko’rib chiqaylik.
Kon’yunktsiya, diz’yunktsiya, inkor (VA, YoKI, EMAS) funktsiyalari. Mantiq algebrasining asosiy qoidalaridan foydalanib, quyidagi aksiomalarning o’rinli ekanligiga qanoat hosil qilish mumkin. Aytaylik, x - biror bir mantiqiy funktsiya. Unda
1) x=x, mantiqiy ifodadan barcha qo’shaloq inkorga ega bo’lgan hadlarni chiqarib tashlab, ularni dastlabki qiymat bilan almashtirish imkoniyaitini bildiradi;
2) bunday o’zgartirish qoidalari mantiqiy ifoda uzunligini qisqartirishga imkon beradi;
3) x0=x; 4) x1=1; 5) x0=0; 6) x1=1; 7) xx=0; 8) xx=1 (mantiqiy haqiqiylik).
Diz’yunktsiya va kon’yunktsiya arifmetikadagi ko’paytirish amallariga o’xshash qator xususiyatlarga ega:
1) assotsiativlik xususiyati (uyg’unlashish qonuni):
x(y+z)=(x+y)+z,
x(yz)=(xy)z 2) kommutativlik xususiyati (ko’chirish qonuni):
xy=yx,
xy=yx;
3) distributivlik xususiyati (taqsimlanish qonuni):
diz’yunktsiyaga nisbatan kon’yunktsiya uchun
x(yz)=xyxz,
kon’yunktsiyaga nisbatan diz’yunktsiya uchun
xyz=(xy)(xz)
Bu xususiyatlarning o’rinli ekanligini yuqoridagi aksiomalardan foydalanib isbotlash aytarlicha qiyin emas.
De Morgan qonunlari sifatida ma’lum quyidagi munosabatlarning haqiqatligini ham ko’rsatish mumkin:
(1)
Bu qonundan quyidagini yozish mumkin:
(2)
demak, kon’yunktsiyani diz’yunktsiya va inkor orqali yoki diz’yunktsiyani kon’yunktsiya va inkor orqali ifodalash mumkin.
Mantiqiy funktsiyalar uchun singdirish qonuni sifatida ma’lum quyidagi munosabatlar o’rnatilgan:
(3)
2 ning moduli bo’yicha qo’shish funktsiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:
kommutativlik (ko’chirish qonuni)
xu=ux;
assotsiativlik (uyg’unlashish qonuni)
x(uz)=(xy)z;
distributivlik (taqsimlanish qonuni)
x(uz)=(xy)(xz).
Bu funktsiya uchun quyidagi aksiomalar o’rinli:
xx=0; x1=x;
xx=1; x0=x.
Aksiomalar va xususiyatlardan foydalanib VA, YoKI, EMAS funktsiyalarni 2 ning moduli bo’yicha qo’shish funktsiyasi orqali ifodalash mumkin:
(4)
Implikatsiya funktsiyasi uchun quyidagi aksiomalar o’rinli:
xx=1; xx=x;
x1=1; 1x=x;
x0=x; 0x=1.
Aksiomalardan ko’rinib turibdiki, implikatsiya faqat ko’rinishi o’zgargan kommutativlik (ko’chirish qonuni) xususiyatiga ega
xu=ux.
Bu funktsiya uchun assotsiativlik xususiyati o’rinsizdir.
VA, YoKI, EMAS funktsiyalari implikatsiya funktsiyasi orqali quyidagicha ifodalanadi:
(5)
Sheffer shtrixi funktsiyasi uchun quyidagi aksiomalar o’rinli:
x/x=x; x/1=x;
x/x=1; x/0=1;
x/0=1; x/1=x.
Sheffer shtrixi funktsiyasi uchun faqat kommutativlik (ko’chirish qonuni) o’rinlidir:
x/u=u/x,
VA, YoKI, EMAS funktsiyalari Sheffer shtrixi funktsiyasi orqali quyidagicha ifodalanadi:
(6)
Pirs strelkasi funktsiyasi uchun quyidagi aksiomalar o’rinli:
xx=x; x0=x;
xx=0; x1=0.
Pirs strelkasi funktsiyasi uchun faqat kommutativlik (ko’chirish qonuni) xususiyati o’rinli:
xu=ux.
VA, YoKI, EMAS funktsiyalarini Pirs strelkasi funktsiyasi orqali quyidagicha ifodalash mumkin:
(7)
Nazorat savollari Mantiq algebarasi nimani o’rganadi?
Mantiqiy funktsiyaning haqiqiylik jadvali nima?
Ikki o’zgaruvchining elementar mantiqiy funktsiyalarini sanab o’ting.
Mantiq algebrasining asosiy aksiomalari va qoidalari
Adabiyotlar X.K.Aripov, A.M.Abdullaev, N.B.Alimova, X.X.Bustanov, E.V.Ob’edkov, Sh.T.Toshmatov. Sxemotexnika. T.: TAFAKKUR BO’STONI, 2013 y.