2. Chiziqli interpolyatsiya Lagranj interpolyatsion ko‘phadi

Lagranj interpolyatsion ko‘phadi

Interpolyatsion koʻphad tuzishning original yoʻlini Lagranj taklif qildi. Lagranj har bir interpolyalash tuguni uchun alohida koʻphad tuzishni taklif qildi.



– larning har biri n-darajali koʻphad, u holda (5) ham n-darajali koʻphad boʻladi. – larni har birini

shartlarni bajaradigan qilib tanlanadi.

- ildizlari – boʻlgan n-darajali koʻphad boʻladi. Tushunarliki koʻphad

Koʻrinishda bolib, bu yerda A-qandaydir konstanta. Shartga koʻra boʻladi agar i=j boʻlganda, bundan A-konstantani aniqlaymiz:

u holda tengmas oraliqlar uchun Lagranj interpolyatsion koʻphadi:

Xususiy hollarda ushbu formula quyidagi koʻrinishlarni oladi:

n=1 boʻlganda ikkita nuqtaga ega boʻlamiz , u holda

koʻrinishni oladi.

n=2 boʻlganda uchta nuqtaga ega boʻlamiz , u holda



Misol. funksiya uchun Lagranj interpolyatsion koʻphadi tuzilsin:










va funksiyalar grafiklari turlicha boʻlsada, lekin aynan [0;0.5] oraliqda bu funksiyalar bir-biriga juda ham yaqinlashadi.

Interpolyatsion koʻphadning qoldiq hadi yoki xatoligi

Boʻlib, shartga koʻra tugunlarda boʻladi. Shuning uchun

nuqta [a;b] oraliqdan olingan nomaʼlum nuqta boʻlgani uchun, ushbu formula xatolikni faqat baholash imkonini beradi. Roll teoremasiga koʻra hosilalar chegaralangan boʻlsa, n ortgan sari xatolik nolga intilib boradi. [a;b] oraliqdagi joriy nuqtada interpolyatsiya xatoligini baholaymiz:

Bunda

Butun [a;b] oraliq boʻyicha xatolik bahosi

Yuqorida koʻrib chiqilgan misol uchun xatolik baholarini olamiz:

u holda nuqtadagi xatolik:

ni tashkil qilsa, butun [0;0.5] oraliq boʻyicha maksimal xatolik:

ni tashkil qiladi.