2. Chiziqli interpolyatsiya Lagranj interpolyatsion ko‘phadi

T aʼrif 1. Jadval qiymatlari asosida x va y oʻzgaruvchilar orasidagi funksional bogʻlanish koʻrinishi y=F(x) ni aniqlash masalasiga approksimatsiya masalasi deyiladi.

Approksimatsiya masalasida ikkita muammo mavjud:

1. 
   Funksiya koʻrinishini tanlash.
   
2. 
   Topilgan funksiyani jadval qiymatlariga muvofiqlashtirish yoki yaqinligini taʼminlash.
   

2. Chiziqli interpolyatsiya.

Taʼrif 2. – nuqtalarga interpolyatsiya tugunlari, topilishi kerak boʻlgan F(x) funksiyaga – interpolyatsiyalovchi funksiya deyiladi.

Geometrik nuqtai nazardan shunaqangi y=F(x) egri chiziqni topish lozimki, bu chiziq berilgan nuqtalardan oʻtishi lozim, yaʼni interpolyatsiya nuqtalarida asl biz bilmaydigan f(x) funksiya bilan ustma-ust tushishi kerak.

(2)

Masalaning bunday qoʻyilishida masala cheksiz koʻp yechimga yoki umuman yechimga ega boʻlmasligi mumkin. Lekin ixtiyoriy F(x) funksiyani oʻrniga, tartibi n dan oshmaydigan (2) shartni qanoatlantiruvchi:

– koʻphad qidirilsa, ushbu masala yagona yechimga ega boʻladi. – koʻphad funksiyalar ichida hisoblash, differensiallash, integrallash nuqtai nazardan eng qulay funksiya hisoblanadi. Bunday qilishga yana bir sabab:

Veyershtrass teoremasi: Har qanday uzluksiz va differensiallanuvchi funksiyani darajali qator bilan istalgancha aniqlikda almashtirish mumkin.

Ikkinchi muammoni hal qilish uchun esa, koʻphad jadvalda berilgan (n+1) ta nuqtalardan oʻtishini talab qilamiz. Umumiy holda

(3)

boʻlsa, u holda

shartlar bajarilishini talab qilamiz.

(4)

Ushbu sistema – (n+1) ta nomaʼlumli (n+1) ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi boʻlib, uning determinanti:

ekanligi isbotlangan. Demak (4) Sistema yechimi mavjud va yagona. Ushbu sistemani yechib, – nomaʼlumlarni topib, ularni (3) formulaga qoʻysak, izlanayotgan approksimatsiyalovchi koʻphadni topgan boʻlamiz.

Taʼrif 3. Berilgan jadval asosida (3) koʻphadni topish masalasiga interpolyatsiya masalasi deyiladi, koʻphadning oʻziga interpolyatsion koʻphad deyiladi.

Taʼrif 4. Interpolyatsion koʻphad yordamida interpolyatsiya tugunlaridan farqli boʻlgan qiymat uchun f(x) funksiyaning taqribiy qiymatini hisoblash masalasiga interpolyatsiya masalasi deyiladi.

Taʼrif 5. Interpolyatsion koʻphad yordamida interpolyatsiya tugunlaridan farqli boʻlgan qiymat uchun f(x) funksiyaning taqribiy qiymatini hisoblash masalasiga ekstropolyatsiya masalasi deyiladi.

M isol.

Agar tajriba kuzatuvlari soni yetarli boʻlsa, interpolyatsion koʻphadni bogʻlanishning matematik modeli sifatida qabul qilish mumkin.

boʻladi deb aytish mumkin.

Muammo shundaki kuzatuvlar soni ortib borgan sari nazariy jihatdan xatolik kamayib boradi, lekin (4) sistema tartibi ham ortib, uni yechish ham qiyinlashadi. Masalan n=10 boʻlganda 11 ta nomaʼlumli 11 ta tenglamalar sistemasini yechishga toʻgʻri keladi.

3.