2-amaliy mashg’uloti Mavzu: Eramizdan avvalgi VI asrdan to V asrgacha Yunon-Rim xalqlarida matematika. Matematikani deduktiv fan sifatida shakllanishi. Butun va ratsional sonlar arifmetikasi

---

2-amaliy mashg’uloti 

Mavzu: Eramizdan avvalgi VI asrdan to V asrgacha Yunon-Rim xalqlarida 

matematika. Matematikani deduktiv fan sifatida shakllanishi. Butun va 

ratsional sonlar arifmetikasi. 

Reja: 

 1) E.o. VI - V asrlarda antik davr matematikasi. 

 2) Matematikani deduktiv fan sifatida shakllanishi. 

 3) Butun va ratsional sonlar arifmetikasi. 

 4) Irratsional sonlarning kashf etilishi. 

 5)  Antik  davr  matematiklarining  yutuklari.  Matematikani  aksiomatik  asosda              

qurilishi. 

 

 

 

Eramizdan avvalgi VI asrga kelib Gretsiyada kuchli kuldorlik davlati (davlat 

-  shaharlar  -polislar)  vujudga  keladi.  Tarixiy  yodgorliklar  Gretsiya  davlatlarida 

texnika,  fan  va  madaniyat  yukori  darajadarivojlanganligidan  dalolat  beradi.  Yirik 

kuldorlik  davlatlarining  birlashmasi  bulgan  Gretsiyada;    Milet,  Korinf,  Afina; 

Italiyada  Sirakuza,  Sitsilia,  Rim  va  boshkalar  mustahkamlanib,  boyib  asosiy 

shaharlarga aylandi. 

 

Bu  davrga  kelib  matematika  dastlab  ioniylar  (ioniyskaya)  -  VII  -  VI  (e.o.), 

sung  VI  -  V  (e.o)  asrlarda  pifagoriylar,  keyinrok  esa  V(e.o)  asrlarda  afina 

maktablari  vujudga keldi. Bu maktablarda asosan tabiyot va filosofiya masalalari  

bilan kuldorlar va boy savdogarlar shug„ullanishgan. 

 

Bu  davr  matematikasida  arifmetik  hisoblashlar,  geometrik  o‟lchashlar  va 

yasashlar  asosiy  rolini    yukotmagan  bo‟lib,  ular  asta  -  sekinlik  bilan 

matematikaning  u  yoki  bu  bulimlariga  gruppalana  boshladi.  Agarda  shark 

matematikasi  asosan  “kanday?”    degan  savolga  javob  bergan  bulsa,  grek 

matematikasi  esa  bunga  kushimcha  “nima  uchun  ?”  degan  ilmiy  savolga  javob 

berishga harakat kilgan. 

 

Grek  matematikasining  ilk  shakllanish  davri  haqida  juda  kam  ma‟lumotlar 

saklanib kolgan. Matematika tarixini o‟rganuvchi olimlardan Tanneri, Xis, Seyten, 

Frank  va  boshkalarning  izlanishlari  natijasida  bu  davr  haqidagi  matematikadan 

kupgina ma‟lumotlar ma‟lum buldi. 

---

 

Bizgacha  etib  kelgan  tulik  matematik  asarlardan  e.o.  IV  asrga  oid  bulgan 

Evklid,  Arximed,  Appoloniy    asarlaridir.  Bularda  matematika  ilmiy  fan  sifatida 

shakllanib bulgan edi. 

 

E.o.  430  yilga  kelib  ,  Afina,  Gretsiya  imperiyasining  markaziga  aylandi 

(oltin  davri)  .Matematika  nazariy  asosda  bayon  etila  boshlandi.Tarixda  birinchi 

marta  matematikaga  tankidiy  yondoshadigan    olimlar  (sofietlar)  paydo  bula 

boshlashdi.  Bu  davr  sofistlari  haqida  juda  ham  kam  ma‟lumotlar  saklangan. 

Bizgacha tulik  saklanib kelgani  Xioslik  filosof  Gippokratning  matematik  asaridir. 

Bu  asar  matematik  mulohazalarning  etarlicha  tulikligi  va  nazariy  masalalarni 

kutarilishi bilan ahamiyatga molikdir. Bunda; 

 

1)  Ikkita  doira  eylari  bilan  chegaralangan    yaproklarning  (  tekis  figura  ) 

yuzini  xisoblash ( kvadratura o )  

 

2) Uxshash doiraviy 

 segmentlar  yuzalarining  nisbati,  ularni    tortib 

turuvchi vatarlar kvadratlarining nisbati kabi. 

 

3) Uchburchak tengsizligi va Pifagor teoremasi (100 yosh kichik) 

 

4)  Antik  davrining  asosiy  problemalari  (Burchakni  uchga  bulish,  kubni 

ikkilantirish,  doirani  kvadratlash)  haqida  ma‟lumotlab  bo‟lib,  aksiomatikani 

dastlabkir kadamlari kuyildi, mantikiy xulosa chikarish prinsipi kullanildi. 

 

Demokratik  harakatlarning  ta‟siri  natijasida    sofistlar  gruppasidan 

matematika  bilan  shug„ullanuvchi  filosoflar  ajralib  chikdi.  Ular  uzlarini  shu 

maktabning  asoschisi  Pifagor  nomi  bilan  pifagoriylar    deb  atadi.  Pifagor  - 

zadogonlardan  chikkan  davlat  arbobi,  olim  bo‟lib  ,  ilohiyotga  (mistika) 

ishonuvchan  bulgan.  Ular    tabiyatda  va  jamiyatda  abadiy  asosni  kizdirishgan. 

Buning  uchun  ular    geometriya,  arifmetika,  astronomiya  va  muzika  ilmini 

o‟rganishgan. (Buyuk nomoyondalaridan biri  Arxit e.o 400 yilda yashagan bo‟lib 

pifagoriylar matematikasining kup kismi unga tegishli). 

 

Pifagoriylar arifmetika sohasida: 

 

1. Ular sonlarni juft - tok, tub va murakkab, mukammal, kushalok (drujeski), 

uchburchakli,  kvadratli,  beshburchakli  va  hakozo  kinflarga  ajratganlar.Hozirgi 

ko‟rinishlar ulardan meros. 

 

2. Muntazam kupyoklarning va muntazam kupburchaklarning xossalari; 

 

3.  Tekislikni  muntazam  uchburchaklar  (yoki  turtburchaklar,  yoki 

oltiburchak)  sistemasi  bilan  koplash  usuli,  fazoni  esa  -  Kublar  sistemasi  bilan 

koplash usulini bilganlar. 

---

 

4. Pifagor teoremasining isboti 

 

5.  a:v=v:s  -    urta  geometrikni  o‟rganish  natijasida  uzaro  ulchamsiz 

kesmalarning, ya‟ni irratsionallikni kashf etganlar. 

(Iloxiy sonlar bir va ikkining urta geometrigi nimaga tengligini izlash kvadratning 

tomoni  bilan  diogonali  orasidagi  munosabatga  olib  keladi  bu  esa    ularning 

tushunchasidagi  ratsional  son  bilan  ifodalanmasligi  -  irratsionallikga  olib  keladi).  

2   ni  kat‟iy  isbotini  bilishgan.  Faraz  kilaylik 

n

,

m

,

n

m

2



  uzaro  tub  sonlar 

bulsin, u xolda 2n

2

=m

2

 bo‟lib, m

2

 juft, demak m - juft. U xolda n - tok. Lekin, m - 

juft edi, demak, m

2

   4 ga bulinadi. Bundan  n

2

 - juft buladi va bundan n xam juft 

buladi. Bir vaktda n - xam juft, tok bo‟lib koldi. Bu esa mumkin emas Demak,  2   

ratsional emas. 

 

Bundan sung Arxit (e.o V) 

)

1

n

(

n



 irratsional ekanligini isbotladi. Teodor 

3,5,6, ... 17 larning kvadrat ildizi irratsional ekanligini isbotladi.Teetet (e.o  IV) esa 

dastlabki  klassifikatsiyasini berdi. 

 

Dedikind  va  Veyershtrass  tomonidan  tuzilgan  hozirgi  zamon  irratsional 

sonlar  nazariyasi  uzining  mohiyati  jixatidan  antik  matematiklarning  (Evdoks) 

fikrlash  uslubiga  mos  keladi,  ammo  hozirgisi  zamonaviy  metodlarga  asoslangani 

uchun keyingi rivojlanish uchun keng imkoniyatlar yaratib beradi. Bundan tashkari 

(e.o. 450 yillar) Elladolik Zenon kashfiyoti kutilmagan natijalarga ya‟ni; arifmetika 

va geometriyaning mavjud garmoniyasining buzilishiga olib keldi.  

 

Tabiatan  filosof  -  konservator  bulgan  Zenon  uzarish  bu  shunchaki  buklib, 

absalyut  mavjudlikka  fakat    ong  etadi  deb  tushungan.  U  kuyidagi,  avval  kabul 

kilingan 



























0

,

0

0

,

0

0

n

,

, tushunchalarni tankid qilishi 

natijasida  kulidagi  4  ta  porodoksga    olib  keldiki,  bular  barcha  matematik 

tushunishlar og„dar - tuntar kilib yubordi. Arximedning ma‟lumot berishicha bular 

kuyidagi  porodokslar;  Axilles,  Strela,  Dixotomiya  (ikkiga  bulish)  ,stadion.  Bu 

paradokslar  piramida  hajmini  hisoblashdagi  cheksiz  protsesslar  natijasida  

matematik mazmun kashf etdi. 

 

Dixotomiya  paradoksi;  faraz  kilaylik  Men  A  dan  V  gacha  bulgan  tug„ri 

masofani bosib utishim kerak. Buning uchun avval AV ning yarmi bulmish AV ni 

bosib utishim kerak. A ga borish uchun esa avval AV ning yarmi bulmish AV ni 

bosib utishim kerak. V ga borish uchun V (yana takror) va hokazo cheksiz davom 

etadi.  Natijada  hakarat  bulmaydi  va  men  yurolmayman.Axilles  toshbakaga 

etolmaydi;Kamon ukining uchishi (diskret (.)). 

---

 

Demak, Zenonning   fikricha  chekli kesmani uzunligi  chekli bulgan  cheksiz 

kesmalarga  ajratish  mumkin.  Bu  kashfiyot  umuman  “matematika  anik  fanmi?” 

degan shubhaga olib keldi.. 

 

Kupgina  matematika  tarixchilari  buni  grek  matematikasining  krizisini 

boshlanishi  deb  sharxlashdi.  (  inkiroz  )  E.o.  404  yilda  Afinaning  kulashi 

(Peloponskaya  voyna)  va  jamiyat  sistemasining  uzgarishi  (respublika)  Gretsiya 

tarixida  va  shu  katori  matematikasida  ham  yangi  davr  boshlandi.  Platon  (360  y  . 

e.o)    akademiyasining  buyuk  matematiklaridan  Arxit,  Teetet  (369)  va  Evdoks 

(408-355 y). 

 

Evklid  “Boshlang„ichlar”ining  5-kitobida  Evdoksning  nisbatlar  nazariyasi 

(teoriya otnosheniya) va inkor etish metodidir (metod ischerpыvaniya 

 ma‟lumotlar  beradi.  Agarda  birinchisi  kat‟iy  aksiomatik  formada  bayon  etilgan 

geometrik nazariya bo‟lib, uzaro ulchamli yoki ulchamsiz mikdorlar tushunchasiga 

nisbatan pifagoriylar nazariyasiga zarba bergan bulsa; ikkinchisi esa formal logika 

elementlari  yordami  cheksiz  kichiklar  bilan  bog„lik  bulgan  barcha  problemalarni 

chetlab utishga imkon berdi. Bu esa Zenon paradokslariga berilgan zarba buldi. Bu 

metod yordamida yuzalarni va hajmlarni hisoblashni kat‟iy isboti berildi. 

 

Mas; 

приз

тет

P

3

1

V



 

 

1). faraz kilaylik V>

Р

3

1

  bulsin; k-k paydo kilinadi; 

 

2) faraz kilaylik V< 

Р

3

1

 bulsin; k-k paydo kilinadi; 

 

Xulosa, demak V=

Р

3

1

 bulish kerak. 

 

Evdoks  tomonidan grek matematikasidagi krizisning bartaraf etilishi uning  

bundan  keyingi rivoji uchun yangi turtki buldi. 

 

e.o    323  Aleksandr  Makedonskiy  Vavilonda  vafot  etdi.  Uning 

lashkarboshilari imperiyani bo‟lib oldilar. Natijada uchta yirik davlat;  Ptolomeylar 

sulolasi  hukmdorligida  -  Misr  ;  Selevkidlar  hukmdorligida  -    Mesopotaliya  va 

Suriya;  Antigon  hukmdorligidan  -  Makedoniya  va    Hind  vodiysida  bir  kancha 

knyazlari  vujudga  keldi.Bosib  olingan  erlarda  greklar    uzlarinikiga  karaganda 

rivojlangan  matematik  ma‟lumotlarga  duch  keldilar.  Ular  buni  kabul  kildilar. 

Natijada matematikaning bundan keyingi rivoji yanada tezlashdi. Urta asr dengizi 

---

atroflaridagi  davlatlar  tezrok  rivojlana  bordi.  Aynan  shu  erlarda  ,  ya‟ni; 

Aleksandriya, Afina, Sirakuz va boshkalar. 

 

Aleksandriyada  -  Evklid  (306-283  y)  ,  Appoloniy  (200(  asli  Pergamalik, 

260-170 y)), Ptolomey (II asr), Geron (I-II) Sirakuzada - Arximed (287-212 y) 

 

Antik davr matematikasining rivojini uchinchi davri Rim xukmdorligi bilan 

bog„lik.  Eramizning  boshlanishiga  kelib  u  yakin  sharkni  uziga  buysundirdi.  Bu 

davrning  matematikalaridan;  Geraslik  -  Nikomax  (100  y)  -  “Arifmetik  kirish” 

(Arifmeticheskoe vvedenie) pifagoriylar arifmetikasining tulik bayon keltirilgani. 

 

Aleksandriyalik  -  Ptolomey  (150  y)  asarining  arablashtirilgan  nomi 

“Almagest” . Bu kitobda 

 

1) 0

0

 - 180

0

 gacha burchaklar uchun vatarlar  tablitsasi; 

 

2) 0

0

 - 90

0

 gacha burchaklar uchun har yarim gradusda sinuslar tablitsasi; 

 

3) 



 uchun kiymat   

.

14166

,

3

120

377

60

30

60

8

3

)

30

,

8

,

3

(

2











 

 

4) Ikki burchak yig„indisi va ayirmasi uchun sinus va kosinus formulasi; 

 

5) “Ptolomey teoremasi” - vylanaga ichki chizilgan turtburchak haqidagi  va 

boshkalar. 

 

Keyingi olimlardan Meneloy (100 y) asari “Sferika” da sferik geometriyaga 

oid ma‟lumotlar aksiomatik asosda berilgan. 

 

Bu bilan bir davrda Geron yashab ijod etgan.”Metrika”  asarida            ni sof 

geometrik  usulda  isbotladi.Kesik  piramidaning  hajmini  hisoblash,  beshta 

muntazam  kupyoklikning  hajmini  hisoblashlar  bor.  SHark  uslubi  kuchli  bulsa, 

ikkinchisida Evklid ruhida grek uslubi kuchli. 

 

Eramizning  boshlarida  Diofant  (250  y)  uzining  “Arifmetika”  asarida  (6  ta 

kitob  saklangan)    shark  uslubi  yana  kuchlirok  seziladi.  (elpinizirovannыy 

vavilonyanin)  .Bu  kitobga  turli  -  tuman    masalalar  keltirilgan  bo‟lib,  kublarning 

echilishi uzining originali bilan ajralib turadi. 

 

Sunggi  davrlarda  yashab  ijod  etgan  Aleksandriyalik  matematiklardan  Papp 

(III-IV  asr)  .Uning  “Tuplamlar”  (“Sobranie  -    Synagoge”)  asari  geometriyaga 

bag„ishlangan  bo‟lib,  uz  davridagi  va  oldingi  olimlarning  asarlariga  tarixiy 

yondashish  ruhida  bayon  etilgan.V  asrga  Rim  imperiyasi  inkirozga  yuz  tutdi. 

Uzaro urushlar, taxt talashishi va boshkalar sabab. 

---

630  yili  Aleksandriyani  arablar  bosib  olishdi.  Garchi  ular  ilm  ma‟rifat 

rivojlanishiga tuskinlik kilmagan bulsalarda, lekin ilmiy markaz asta-sekinlik bilan 

sharkka karab kuchdi. 

Antik  davr  matematiklarining  eng  katta  yutuklaridan  biri  bu  matematikani 

mustakil  deduktiv  fan  sifatiga  olib  chikish  va  uni  kat‟iy  aksiomatik  asosga 

ko‟rishdan iboratdir. Eramizdan oldingi IV-III asrga kelib matematikani mustakil 

fan  sifatida  e‟tirof  etilishi,  falsafiy  va  mantikiy  fikrlash  formalarining  asoslari 

yaratilgan  bo‟lib,  deduktiv  fanni  ko‟rishning  prinsplari  ilgari  surila  boshlandi. 

Mantikiy  murakkablashib  boruvchi  sistemaning  dastlabki  boshlanishi  sifatida 

aksiomalar  karala  boshlandi.  Bunda  teorema  va  masalalarning  mantikiy  ketma-

ketligi  shunday  tanlanishi  kerakki,  iloji  boricha  aksiomalar  sistemasi  ixcham 

bulsin.  Masalan,  Evdoks  munosabatlar  nazariyasidagi  mikdorlar  tushunchasi 

asosida beshta aksioma sistemasi yotadi: 

 

 Agar a=v, s=v bulsa, u holda a=s buladi (tranzit). 

 

 Agar a=s bulsa, a+v=s+v buladi. 

 

 Agar a=s bulsa, a-v=s-v buladi. 

 

 Agar a=v bulsa, v=a buladi (sovmeщayuщiesya rovna) 

 

 Butun kismdan katta. 

Usha  davrda  yaratilgan  barcha  asarlarning  nomi  “Boshlang„ichlar”  bo‟lib 

dastlabkisi Xioslik Gippokratga tegishlidir. 

Evklidning  “Boshlang„ichlari”  yaratilgandan  sung  kolganlari  unutilib 

yuborildi va ular bizgacha etib kelmagan (kiskacha sharx ber.) 

 

 

Tekshirish savollari: 

1.  VI-V asrgacha antik davr matematikasi 

2.  Aristotelning deduktiv fan konsepsiyasini izohlab bering. 

3.  Irratsional sonlarni kashf etilishi. 

4.  Zenon paradokslarini izohlab bering. 

5.  Evdoks aksiomalar sistemasini ayting.