2-amaliy mashg‘ulot. Tekislikda analitik geometriyaning sodda masalalari

Chiziq tenglamasi. To‘g‘ri chiziq

REJA

1.To‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi.

2.Ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchak, parallellik va perpendikulyarlik shartlari.

3.Umumiy tenglama.

• 4.Kesmalar bo‘yicha olingan tenglama.
• 5.Berilgan ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi.
• 6.Berilgan nuqtadan berilgan yo‘nalishda o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi.
• 7.Normal tenglama.
• 8.Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa.

• Chiziq tenglamasi deb shunday
• F(x, y)=0
• tenglamaga aytiladiki, bu tenglama chiziqdagi barcha nuqtalarning umumiy xususiyatlarini o‘zida aks ettiradi.
• Tenglama biror chiziq tenglamasi bo‘lishi uchun shu chiziqqa tegishli har bir nuqtaning koordinatalari tenglamani qanoatlantirishi va undan tashqaridagi nuqtaning koordinatalari esa tenglamani qanoatlantirmasligi lozim.

• Tenglamadagi x va y - o‘zgaruvchi (joriy) koordinatalar, unda qatnashuvchi a, b va boshqa harf-miqdorlar esa parametrlar deb ataladi.
• Masalan, ushbu (x-a)2+(y-b)2=R2 tenglama markazi (a, b) nuqtada, radiusi R ga teng bo‘lgan aylana tenglamasidan iborat. Shuning uchun ham chiziq nuqtalarning geometrik o‘rnidan iboratdir.

• Agar tenglamada x va y birinchi darajada qatnashsa, u to‘g‘ri chiziqni bildiradi.
• To‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyentli tenglamasi: y=kx+b.
• Bunda k=tg - to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyenti deyiladi. -to‘g‘ri chiziq bilan abssissa o‘qi orasidagi musbat yo‘nalishli burchak. b parameter esa to‘g‘ri
• chiziqning ordinata o‘qidan ajratgan kesmasini bildiradi.

• Berilgan ikki y=k1x+b1 va y=k2x+b2 to‘g‘ri chiziqlar orasidagi  burchak quyidagi formula bilan aniqlanadi:

• Agar tenglamalar A1x+B1u+C1=0 va A2x+B2u+C2=0 umumiy ko‘rinishlarda berilsa, u holda bu formula

• shaklda bo‘ladi.

• Parallellik sharti: k1=k2 yoki

• Perpendikulyarlik sharti:

• yoki A1A2+B1B2=0.

• To‘g‘ri chiziqning umumiy Ax+By+C=0 tenglamasidan kelib chiqadigan ba’zi maxsus hollar:
• Agar C=0 bo‘lsa,

• bo‘lib, bu to‘g‘ri chiziq koordinata boshidan o‘tadi;

• B=0 bo‘lsa,

• yoki x = a bo‘lib,

• to‘g‘ri chiziq ordinatalar o‘qiga parallel
• bo‘ladi;

• A=0 bo‘lsa,

• yoki y=b bo‘lib,

• to‘g‘ri chiziq absissalar o‘qiga parallel
• bo‘ladi;

• B=C=0 bo‘lsa, x=0 bo‘lib, to‘g‘ri chiziq ordinatalar o‘qi bilan ustma-ust tushadi, ya’ni Oy o‘qining tenglamasi bo‘ladi;
• Shuningdek, agar A=C=0 bo‘lsa, y=0 to‘g‘ri chiziq absissalar o‘qining, ya’ni Ox o‘qining tenglamasi bo‘ladi.

• To‘g‘ri chiziqning kesmalari bo‘yicha olingan tenglamasi:

• Bunda a va b parametrlar to‘g‘ri
• chiziqning koordinata o‘qlarida ajratuvchi kesmalarini bildiradi.

• Berilgani kki A(x1;y1), B(x2;y2)
• nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq
• tenglamasi:

• Berilgan (x0;y0) nuqtadan berilgan yo‘nalishda o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi yoki berilgan nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqlar oilasi (dastasi) tenglamasi:
• y-y0=k(x-x0).

• To‘g‘ri chiziqning normal tenglamasi:
• xcos+ysin - =0.
• Bunda  - koordinata boshidan to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar (normal) uzunligi,  - esa shu normal bilan Ox o‘qi orasidagi burchak.

• To‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasini normal ko‘rinishga keltirish uchun uning barcha koeffitsentlarini normallashtiruvchi

• ko‘paytuvchiga ko‘paytirish kerak, ishora C ning ishorasiga qarama-qarshi tanlanadi.

• Berilgan (x0;y0) nuqtadan to‘g‘ri
• chiziqqacha bo‘lgan d masofa quyidagi formuladan topiladi:
• d= x0cos+y0sin - 

• yoki

• .

• 4-misol. To‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchakni aniqlang: 2x-3y+6=0, x+5y-2=0.
• Yechish: Berilganlarga ko‘ra

• k1=

• va k2=-

• Bularni to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchakni topish formulasiga qo‘ysak:

• Demak, to‘g‘ri chiziqlar orasidagi
• burchak =45 yoki =135.

• Topshiriqlar:
• 5. Quyidagi to‘g‘ri chiziqlar orasidagi o‘tkir burchaklarni aniqlang: 1) y=2x+3 vay=x-2,
• 2) 3x-y+6=0 va x-y+4=0, 3) y+5=3 x va y-2=0.

• Topshiriqlar:
• 6.A(-2;4) nuqta y=x2 chiziqda yotadimi?
• 7. y=-3x+1 chiziq va bu chiziq ustida
• absissasi -1 ga teng bo‘lgan A nuqta berilgan. A nuqtaning ordinatasini aniqlang.