2-amaliy mashg‘ulot Mavzu

2-amaliy mashg‘ulot

Mavzu: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish usullari.

Nazariy qism

Bizga ta noma’lumli ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi

(1)

berilgan bo‘lsin. Bu yerda lar berilgan sonlar, lar noma’lumlar (i,j=1,2,...,n). Agar (1) sistemaga mos keluvchi asosiy determenant 0 dan farqli, ya’ni

bo‘lsa u yagona yechimga ega bo‘ladi.

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning bir necha usullari mavjud bo‘lib, ulardan asosiylari Kramer, Gauss, matritsa, iteratsiya usullaridir. Bu usullar algoritmlarini (1) sistema uchun ko‘rib chiqaylik.

Kramer usuli. Kramer usuli odatda determenantlar usuli ham deb ataladi. Bu usulning algoritmi quyidagicha. Dastlab quyidagi (n+1) ta n - tartibli

. . .

determinantlarning qiymatlari hisoblanadi va no‘malumlar

, , . . . ,

formulalar yordamida topiladi.

Misol. Quyidagi

chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Kramer usuli yordamida yeching.

Echish.







Javob:
Gauss usuli. Gauss usuli yoki no‘malumlarni ketma-ket yo‘qotish usuli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini aniq yechish usuli hisoblanadi. Bu usulining algoritmi quyidagi hisoblashlar ketma-ketligidan iborat.

bo‘lsin (agar bo‘lsa, sistemadagi tenglamalarning o‘rnini almashtirib ga ega bo‘lish mumkin). (1) sistemadagi birinchi tenglamaning barcha hadlarini ga bo‘lib

ni hosil qilamiz. Bu tenglamani ketma-ket larga ko‘paytirib, undan sistemaning keyingi tenglamalarini ayiramiz va

(2)

sistemaga ega bo‘lamiz. Bu yerda , , i=2,…,n; j=2,3,…,n.

(2) sistema uchun yuqoridagi hisoblashlar (noma’lumlarni ketma-ket yuqotish) ni bir necha bor takrorlab, quyidagi

(3)

sistemani hosil qilamiz va x_i larni topish uchun

formulaga ega bo‘lamiz.

Misol. Quyidagi

tenglamalar sitemasini Gauss usulida yeching.

Echish.

Û Û Û

Û Û Û

Û

Javob:

Teskari matritsa usuli. Bizga n-o‘lchovli

kvadrat matritsa berilgan bo‘lsin.

Tarif. matritsaga teskari matritsa deb shunday matritsaga aytiladiki,

bo‘ladi. Bu yerda birlik matritsa, ya’ni

Teorema. Agar matritsa elementlaridan tuzilgan determenant qiymati noldan farqli, ya’ni bo‘lsa, matritsaga teskari matritsa mavjud.

Agar matritsaga teskari matritsa mavjud bo‘lsa, u quyidagi formula yordamida hisoblanadi

bu yerda , - elementlarning algebraik to‘ldiruvchilari

,

Misol. matritsaga teskari matritsa toping.

Echish.

Algebraik to‘ldiruvchilarni hisoblaymiz:

U holda

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini teskari matritsa usulida yechish uchun, (1) ni

(4)

ko‘rinishda yozib olamiz. Bu yerda

(4) ni ga ko‘paytirib, (1) sistemaning yechimini matritsa ko‘rinishida hosil qilamiz

Amaliy mashg‘ulot uchun misollar

Masala. Berilgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini Kramer, Gauss va matritsa usullari yordamida yeching.

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   
   
8. 
   
   
9. 
   
   
10. 
    
    
11. 
    
    
12. 
    
    
13. 
    
    
14. 
    
    
15. 
    
    
16. 
    
    
17. 
    
    
18. 
    
    
19. 
    
    
20.