2. 1-amaliy mashg’ulot: Gruppa va uning sodda xossalari. Gruppalar gomomorfizmi

Ta’rif. Agar (A; * ) yarimgruppa bo‘lib, A to‘plam * amalga nisbatan e neytral element mavjud bo‘lsa, u holda A monoid deyiladi.

Misollar. 3. Yuqoridagi 2-misolda keltirilgan yarimgruppa monoid bo‘ladi.

4. (N;  ) algebraik sistema multiplikativ monoid bo‘lishini ko‘rsatish oson. additiv yarimgruppa monoid bo‘lmaydi, chunki N to‘plamda qo‘shish amaliga nisbatan neytral element mavjud emas.

Aytaylik (A; *) yarimgruppa bo‘lsin, u holda:

" (a₁a_z,...,a_nÎA) a₁* a₂*... *a_n (1)

belgini

a₁* a₂*... *a_n=( a₁* a₂*... *a_n-1)* a_n

ma’nosida tushuniladi.

Agar * amal + (qo‘shish) dan iborat bo‘lsa, (1) ni qisqacha ko‘rinishda, * amal (ko‘paytirish) dan iborat bo‘lsa, ko‘rinishda belgilaymiz. Demak,

= a₁+ a₂+...+a_t=( a₁+ a₂+...+a_t-1)+ a_t (2)

= a₁ a₂... a_t=( a₁ a₂... a_n-1) a_n (3)

Xususiy holda a₁=o₂=a_n=a bo‘lsa, u holda (2) na=(n-1)a+a, (3) esa aⁿ=a^n-1a ko‘rinishga keladi.

Algebraik sistema xususiy ko‘rinishlaridan biri .gruppa tushunchasi bo‘lib, u matematika va uning tatbiqlarida muhim ahamiyatga ega.

Ta’rif. G to‘plamda aniqlangan * binar amal quyidagi shartlar (gruppa aksiomalari) ni qanoatlantirsa:

1⁰.: " (a,b,cÎG) a*(b*c)=(a*b)*c;

2⁰. :  (eÎG) " (aÎG) a*e=a;

3⁰.: " (aÎG)  (aÎG) a*a'=e.

u holda G=(G;*, e) algebraik sistemani gruppa deyiladi.

Agar yuqoridagi 1⁰-3⁰ shartlarga qo‘shimcha ravishda yana

4⁰" (a,bÎG) a*b=b*a bo‘lsa, u holda, G ni kommutativ gruppa yoki Abel’ gruppasi deyiladi. Agar G chekli to‘plam bo‘lsa, G ni chekli gruppa G ning elementlari soni G gruppasining tartibi deyiladi. Agarda G cheksiz to‘plam bo‘lsa, G gruppaning tartibi cheksiz deyiladi.

Agar * binar amal + (qo‘shish) dan iborat bo‘lsa, (G;+ , 0) gruppani additiv deyiladi. Bu holda " (a,bÎG) a*b=a+b ko‘rinishda yoziladi va uni a va b elementlarni -yig‘indisi deyiladi. Agar * amal (ko‘paytirish) amalidan iborat bo‘lsa, (G;  , 1). Ni multiplikativ gruppa deyiladi, a*b ni a-b yoki ab ko‘rinishda belgilanadi hamda a va b elementlarning ko‘paytmasi deyiladi.

Misollar. 5. A={x,y}- ikki elementli to‘plam, G={₁,j₂} – A ni A ga biektiv akslantirishlar to‘plami bo‘lib, j₁(x)=x, j₁(y)=yj₂(x)=y, j₂(.y)—x, ko‘rinishda berilgan va ⁰ akslantirishlarning ko‘paytmasi (kompozitsiyasi)dan iborat bo‘lsin, u holda(G; ⁰', j₁) algebraik sistema Abel’ gruppasi bo‘ladi.

 haqiqatan ham, gruppaning 1⁰ aksiomasining bajarilishini bevosita tekshirib ko‘rish mumkin.

Masalan [(j₂oj₁)oj₂](x)=(j₂oj₁)oj₂(x)=(j₂oj₁)(y)=