1Kasr turlari 1Oddiy kasrlar

Koʻpaytirish va boʻlish[tahrir | manbasini tahrirlash]
Ikki oddiy kasrni koʻpaytirish uchun berilgan kasrlarning surat va maxrajlarini oʻzaro koʻpaytirish kerak:
{\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.} Kasrni natural songa koʻpaytirish uchun suratni berilgan son bilan koʻpaytirish kerak. Maxrajni oʻziday qoldirish kerak:
{\displaystyle {\frac {2}{3}}\cdot 3={\frac {6}{3}}=2} Koʻpaytirishdan hosil boʻlgan kasrning surati va maxraji qisqarsa, ularni qisqartirish kerak. Masalan:
{\displaystyle {\frac {5}{8}}\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {10}{40}}={\frac {1}{4}}.} Koʻpaytirishni qulaylashtirish uchun kasrlarni soddalashtirish mumkin. Bunda surat va maxrajdagi sonlar nisbati saqlanib, eng kichik qiymatlarga keltiriladi. Masalan:
{\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {{\cancel {2}}^{~1}}{{\cancel {3}}^{~1}}}\times {\frac {{\cancel {3}}^{~1}}{{\cancel {4}}^{~2}}}={\frac {1}{1}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}}Ikki oddiy kasrni boʻlish uchun birinchi kasrni ikkinchi kasrning teskarisiga koʻpaytirish kerak:
{\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}},\quad c\neq 0.}
Masalan:
{\displaystyle {\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}}.}
Yozish usulini oʻzgartirish[tahrir | manbasini tahrirlash]
Oddiy kasrni oʻnli kasr koʻrinishida yozish uchun suratni maxrajga boʻlish kerak. Natija chekli oʻnli belgiga ega boʻlishi yoki cheksiz davriy kasr boʻlishi mumkin. Misollar:
{\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {5}{10}}=0{,}5}{\displaystyle {\frac {1}{7}}=0{,}142857142857142857\dots =0{,}(142857)}  — cheksiz takrorlanuvchi davrni qavsga olib yozish qabul qilingan.
Oʻnli kasrni oddiy kasr koʻrinishida yozish uchun berilgan oʻnli kasrning kasr qismini 10 sonining mos keluvchi darajasiga boʻlib natural son koʻrinishida yozish kerak. Soʻngra kasr qism bilan butun qismni birlashtirib yozish zarur. Bunda aralash kasr hosil boʻladi. Misol:
Tarixi[tahrir | manbasini tahrirlash]
Eng qadimgi kasrlar butun sonlarning teskari yozilgani boʻlgan. Bu qadimiy belgilar ikkining bir qismini, uchning bir qismini, toʻrtning bir qismini va hokazoni ifodalagan.^[3] Misrliklar misr kasrlaridan eramizdan avval taxminan 1000-yillarda foydalanishgan. Taxminan 4000-yil avval misrliklar sonlarni kasr bilan boʻlish uchun bir oz boshqacha uslublardan foydalanishgan. Ular surati bir boʻlgan kasrlar ustida amallar bajarish uchun eng kichik umumiy boʻluvchidan foydalanishgan. Ularning uslublari zamonaviy uslublar bilan bir xil natijalar bergan.^[4]
Yunonlar surati bir boʻlgan kasrlardan foydalanishgan. Eramizdan avvalgi taxminan 530-yilda yunon faylasufi Pifagorning shogirdlari ikkining kvadrat ildizini kasr koʻrinishida yozib boʻlmasligini aniqlashgan. Eramizdan avvalgi taxminan 150-yilda hindistonlik jainchi matematiklar „Sthananga sutra“ (talaffuzi: Sananga sutra) asarini yozishgan. Bu asarda sonlar teoriyasi, arifmetik amallar va kasrlar ustida amallar haqida yozilgan.
Bir sonni ikkinchisi ostida yozish va kasrlarni hisoblash usullari bizning eraning 499-yili atrofida Aryabhatta yozgan asarda uchraydi. Sanskrit adabiyotlarda kasrlar yoki ratsional sonlar doim butun son va uning ketidan kasr son koʻrinishida yozilgan. Kasr son butun son yozilgan qatorning ostiga yozilgan. Kasrning oʻzi ikki qatorda yozilgan. Birinchi qatorda yozilgan surat amsa deb atalgan, ikkinchi qatorga yozilgan maxraj cheda deb atalgan. Agar kasr biron-bir boshqa belgisiz yozilgan boʻlsa, demak bu kasrni yuqoridagi butun songa qoʻshish kerak boʻlgan deb tushuniladi. Agar kasrning oʻng tarafiga kichkina aylana yoki „+“ belgisi qoʻyilgan boʻlsa, bu kasrni butun sondan ayirish kerak boʻlgan deb tushuniladi. Masalan, hind matematigi Bhaskara I quyidagicha yozgan: