1,Ҳисоблаш математикаси предмети

Ватарлар усули


тенгламанинг итерация усулида курсатилгандан кура тезрок кесмада жойлашган илдизини топиш усулини курсатамиз. Бу ерда хам 0 шарт бажарилиши керак.
Фараз киламиз аниклик учун булсин. Бу холатда кесмани иккига булмасдан нисбатда булиш максадга мувофикдир.
Бу булиш илдизини (1) такрибий кийматини беради

(2)

2. 
   Ньютон усули (уринмалар усули)
   
3. 
   Иккига булиш усули
   

(1) тенглама берилган булсин. - орлик
- кесма деб олинган
да узлуксиз ва шартни каноатлантиради.
да жойлашган (1) тенгламани илдизини топиш учун кесмани иккига буламиз.
Агар (1) тенгламанинг илдизи булади. булса кесмалардан шунисини оламизки у кесмани четки нукталарида функция карамакарши ишораларга эга булсин. интервални яна иккига булиб бу жараённи давом этирамиз натижада маълум бир этапда аник илдизни ёки бир бирини ичига жойлашган чексиз кетма-кетликни хосил киламизки

2. 
   

Фараз киламиз (1) тенгламанинг илдизи кесмада ажратилган булсин. да узлуксиз ва маълум бир ишорани саклайди. - илдизининг - чи такрибий илдизини аниклаб Ньютон усули билан уни аниклашимиз мумкин.
(2) деб оламиз.
кичик микдор деб хисоблаймиз.
Тейлор формуласини куллаб

демак

Бу тузатмани (2) формулага куйиб кейинги якинлашишни топамиз.
бу жараённи давом эттириб
ни хосил киламиз.
11.Ildizlarni taqribiy aniqlash usullari.

12.f(x)=0 tenglamaning ildizlari yotgan oraliqlarini ajratiwga oid teoremalar.

Демак (1) тенгламанинг илдизларининг такрибий хисоблаш икки кисмдан иборат: 1) илдизларни ажатиш ва 2) дастлабки якинлашиш маълум булса, илдизларни берилган аниклик билан хисоблаши.
Масаланинг 1 – чи кисми иккинчисига нисбатан анча муракабдир, чунки умумий холда илдизларни ажратиш учун эффектив методлар мавжуд эмас. Математик анализдан маълум булган куйидаги теоремалар (1) тенгламанинг илдизлари ётган ораликларни ажратишига ёрдам килади.
1 – теорема Агар узлуксиз функция бирор ораликнинг четки нукталарида хар хил ишорали кийматларни кабул килса, у вактда бу ораликда (1) тенгламанинг хеж булмаганда бита илдизи мавжуддир. Агар, шу билан бирга биринчи мавжуд булиб, у уз ишорасини шу ораликда сакласа у вактда бу ораликда илдиз ягонадир.
2- теорема функция ораликда аналитик функция булсин. Агар ораликнинг четки нукталарида хар хил ишорали кийматларни кабул килса, у вактда (1) тенгламанинг а ва b нукталар орасида ётадиган илдизларнинг сони токдир.
Агар функция ораликнинг четки нукталарида бир хил ишорали кийматларни кабул килса, у вактда (1) тенгламанинг илдизлари ё оралдикда ётмайди ёки уларнинг сони жуфтдир (каралилигини хисобга олган холда). Купинча (1) тенгламанинг хакикий илдизларини ажратишга график усули катта ёрдам беради.

Агар нинг куриниши мураккаб булиб, унинг графигини чизиш кийин булса, у вактда график усулини бошкача тарзда куллаш керак, яъни (1) тенгламани унга тенг кучли булган (2) тенглама куринишида ёзиб олинади. Энди ва функцияларни графикларини чизиб, бу графикларнинг кесишиш нукталарининг абсциссалари такрибий илдизлардан иборат булади.

13.Лагранж ва декартнинг илдизларини ажратиш хакидаги теоремалари?
(Лагранж теоремаси).
Агар (2) тенгламанинг манфий коэффицентларидан энг биринчиси (чапдан унгга томон хисоблаганда) булиб, манфий коэффициентларининг абсолют кийматлари буйича энг каттаси булса, у холда мусбат илдизларнинг юкори чегараси
(3)
сон билан ифодаланади.Агар учун купхад ва унинг барча хосилалари номанфий булса: холда ни (2) тенгламани мусбат илдизлари учун юкори чегара деб хисоблаш мумкин.
Мисол: Куйидаги тенгламани хакикий илдизларининг чегараси топилсин.
(4)
3-теоремани куллаймиз, бу ерда демак яъни (4) тенгламанинг илдизлари (-9;9) ораликда ётар экан.
Энди Лагранж теоремасини куллаймиз:
демак
(5) тенгламада ни га алмаштирсак,
(5)
тенглама келиб чикади. Бу тенглама мусбат илдизининг юкори чегараси учун хам тенгсизлик келиб чикади. Яъни Лагранж тенгламасига кура (4) тенгламанинг илдизлари ( ) ораликда жойлашган экан.
Фараз киламиз (1) тенгламани ечиш талаб килинган булсин, - алгебраик ёки транцендент функция булиши мумкин. Куп методларда (1) – чини илдизи ажратилган, яъни шундай етарлича кичик атрофчалар топилганки, бу атрофчаларда тенгламанинг биттагина илдизи жойлашади деб фараз килинади.
Бу атрофнинг бирор нуктасини дастлабки якинлашиш сифатида кабул килиб, мазкур методлар ёрдамида изланаётган ечимни берилган, аниклик билан хисоблаш мумкин.
Демак (1) тенгламанинг илдизларининг такрибий хисоблаш икки кисмдан иборат: 1) илдизларни ажатиш ва 2) дастлабки якинлашиш маълум булса, илдизларни берилган аниклик билан хисоблаши.
1 – теорема Агар узлуксиз функция бирор ораликнинг четки нукталарида хар хил ишорали кийматларни кабул килса, у вактда бу ораликда (1) тенгламанинг хеж булмаганда бита илдизи мавжуддир. Агар, шу билан бирга биринчи мавжуд булиб, у уз ишорасини шу ораликда сакласа у вактда бу ораликда илдиз ягонадир.
2- теорема функция ораликда аналитик функция булсин. Агар ораликнинг четки нукталарида хар хил ишорали кийматларни кабул килса, у вактда (1) тенгламанинг ва нукталар орасида ётадиган илдизларнинг сони токдир.