18-ma'ruza. Har xil harakat turlari (energiya turlari!) uchun holatlar bo‘yicha yig‘indilarni hisoblash

18-ma'ruza.
Har xil harakat turlari (energiya turlari!) uchun holatlar bo‘yicha yig‘indilarni hisoblash.
П,стп,215-220; Е. стп.221-224

Bu summani klassik yaqinlikda hisoblash mumkin. Tarjima harakatining energiyasi to'g'ridan-to'g'ri impulslarga bog'liq va koordinatalarga bog'liq emas:

E(p) = =
Q_cheg= - ) =
- - - ) =
* dp_x* dp_y dp_z (1)

(1) dagi ko'rsatkich koordinatalarga bog'liq emas ,q_y,q_z. Koordinatalar ustidagi integratsiya tizimning haqiqiy hajmi bilan belgilangan chegaralar doirasida amalga oshiriladi, ya'ni. 0 dan • (V ) gacha ,q_y,q_z. Integrallash natijasida V hajmni olamiz. Baʼzan yozamiz.

Q_konf=V
bu yerda Qconf konfiguratsiya integralidir.
Impuls integrallari minusdan ortiqcha cheksizgacha olinadi. Hisoblash uchun biz jadval integralidan foydalanamiz:
dx=( ^1/2 (2)
Shunday qilib, biz olamiz:
α= ; ( ^1/2=(2ΠmKT)^1/2; ( ^3/2=(2ΠmKT)^3/2 (3)
Natijada, (1) ni integratsiyalashganda, u bo'ladi
Q=Q_chegaQ_konf= (2ΠmKT)^3/2 (4)
Bu miqdor o'lchovsizdir
Translatsiya harakati energiyasi uchun kvant mexanik ifodasini ishlatsak, xuddi shunday natijaga erishamiz. Impuls kvantlangan, shuning uchun:
p= *n; E= *n² n=1,2 (5)
Parametr l - bu bizning ideal gazimiz joylashgan qutining chiziqli o'lchami. Holatlar bo'yicha molekulyar yig'indining ifodasi shaklga ega
Q= (6)
Yig'indi n sonidan 1 dan cheksizgacha o'tadi. Keling, ko'rsatkichni ko'rib chiqaylik. U o'lchamsiz bo'lishi kerak.
*n²
Shunday qilib,
Θ_chega= (7)
harorat o'lchamiga ega va tarjima harakatining xarakterli harorati deb ataladi. Ushbu miqdorning odatiy qiymatlari 10^-8K. Xarakterli tarjima harorati kichik, shuning uchun har bir birlik uchun n o'zgarganda, (6) ifodadagi ko'rsatkich deyarli uzluksiz o'zgaradi va yig'indini integratsiya bilan almashtirish mumkin:
dx= ( ^1/2= ( ^1/2= ( ^1/2*l
Biz (4) kabi bir xil Q natijaga erishamiz:
Q_chegaQ_konf = (2пmKT)^3/2
Z va termodinamik funktsiyalarni hisoblash uchun Q dan foydalanamiz:
Z= = ;
lnZ=N ln( ^3/2+N lnV- N lnN + N lne = N ln
Erkin energiyasi uchun biz quyidagilarni olamiz:
F =-kTInZ=-kTN + R
S=k lnZ + kT(∂lnZ/∂T)_v =Rln + R
Bu Zakur-Tetrode formulasi:
Doimiy hajmdagi issiqlik sig'imi uchun biz quyidagilarni olamiz:
C_v=T( )_V=2kT( )_V+ kT²( )_V=3R-3/2R=3/2R
Bosim uchun olamiz:
p=-( )_V =kT( )_V=kTN( )_V=
Bir mol ideal gazning Gibbs energiyasi uchun (kimyoviy potensial!) olamiz
G=μ=F+pV=F+RT= -kTNln + RTlne
=-RTln( )
Standart kimyoviy potentsial qiymati: