17 §. Вақтни ўлчаш

 
28 §. Сферик учбурчак 
 
Астрономиядаги кўпгина масалаларни ечиш сферик учбурчакларни 
ечиш билан ҳал этилади. Сфера сиртидаги учта А, В, С нуқта катта айланалар 
ёйлари билан туташтирилса сферик учбурчак ҳосил бўлади (14-расм). 

---

Сферик учбурчакнинг АВ, ВС, АС томонлари катта айланалар ёйидан 
иборат, улар градус, минут ва секундлар билан ифодаланади. А, В, С лар 
сферик учбурчакнинг бурчакларини ва АВ=с, ВС=a, АС=b лар эса 
томонларини билдиради. Сферик учбурчак бурчакларининг йиғиндиси 180
0
дан катта ва 540
0
дан кичик бўлади.
29-§. Томон косинусининг формуласи 
 
АВС сферик учбурчакнинг (15-расм) a ва с томонлари 90
0
дан кичик 
бўлсин. А нуқтадан шу томонларга сферанинг радиуслари ОВ ва ОС ларнинг 
давомини D ва Е нуқталарида кесадиган уринмалар ўтказамиз. Сфера радиуси 
бир деб олсак, у ҳолда:
tg
AD

c
Secc
c
OD


cos
1
,
tgb
AE

Secb
b
OE


cos
1
(1) 

---

DЕ кесмани аниқлаш учун АDЕ ва ОDЕ учбурчаклардан қуйидаги 
муносабатларни ёзамиз: 
DE
2
=AD
2
+AE
2
-2AD
.
AE Сos A, 
DE
2
=OD
2
+OE
2
-2OD
.
OE Сos 

, 
AD ва AE уринмалар орасидаги бурчак А га тенг бўлгани учун ОВ ва ОС 
радиуслар орасидаги бурчак 

га тенг бўлади. Охирги тенгликнинг чап 
томонлари тенг бўлгани учун ўнг томонини тенглаштирамиз ва ҳадлар жойини 
алмаштирамиз.
2OD
*
OE Cos 

= (OD
2
-AD
2
)+(OE
2
-AE
2
)+2AD
*
AECos A (2) 
Қавслар ичидаги ифодалар бирга тенг, чунки улар бир деб қабул 
қилинган радиус квадратларидир. (2) ифодадаги ҳамма кесмаларни (1) даги 
қийматларга алмаштириб, 2 га қисқартирсак: 
CoscCosb
Cosa
=l+tgb
*
tgc
*
Cos A ёки Cos

=Cosb Cоsc+Sinb sinc CosA
(3)

---

Айланма ўрин алмаштириш ёрдамида, қолган икки томон учун қуйидаги 
ифодаларни ёзамиз: 







SinbCosC
Sin
Cosb
Cos
Cos
Cosc
Cosb




Cos
СosB
SincSin
(4) 
(3) ва (4) формулалар сферик тригонометриянинг косинуслар теоремас
ини ифодалайди. Сферик учбурчакнинг бирор томонини косинуси қолган икки 
томонининг косинуслари кўпайтмаси ва шу томонларнинг синусларини томон 
қаршисида ётган бурчак косинуси кўпайтмаси йиғиндисига тенг бўлар экан.