16-§. Differensial tenglama yechimining parametrlarga va boshlang’ich shartlarga bog’liqligi

22-§. n-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning fundamental yechimlar sistemasi
Ta’rif-1. Ushbu

к (1)

differensial tenglamaning ixtiyoriy n ta chiziqli bo’g’lanmagan yechimlariga, uning fundamental yechimlari sistemasi (F.Y.S) deyiladi.

Teorema-1. Uzluksiz koeffitsientli (1) ko’rinishdagi bir jinsli differensial tenglamaning fundamental yechimlari sistemasi (F.S.Y) mavjud.

Isbot. Aytaylik sonlardan tuzilgan

determinant nolga teng bo’lmasin. U holda differensial tenglamaning ushbu

(2)

boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlari mavjud. Bu yechimlardan tuzilganVronskiy determinantini qaraylik:

.

Endi ni hisoblaymiz:

.

Shuning uchun funksiyalar chiziqli bog’lanmagan bo’ladi. Demak (1) bir jinsli differensial tenglamaning mavjud ekan. ■

Izoh. Noldan farqli determinantlar cheksiz ko’p bo’lgani uchun (1) ko’rinishdagi bir jinsli differensial tenglamaning F.Y.S ham cheksiz ko’p bo’ladi.

Teorema-2. Agar funksiyalar (1) bir jinsli differensial tenglamaning F.Y.S ni tashkil qilsa, u holda uning umumiy yechimi ushbu

(3)

ko’rinishda yoziladi.

Isbot. (3) ko’rinishdagi y(x) funksiya ushbu

sohada (1) tenglamaning umumiy yechimi ekanligini ko’rsatamiz. Chunki G sohaning har bir nuqtasida Koshi teoremasining shartlari bajariladi.

1. Quyidagi



(4)

algebraik tenglamalar sistemasi -ixtiyoriy o’zgarmaslarga nisbatan yechimga ega. Chunki, bu sistemaning asosiy determinant noldan farqli, ya’ni

2. –o’zgarmaslarning ixtiyoriy qiymatlarida (3) tenglik orqali

aniqlangan y(x) funksiya (1) bir jinsli differensial tenglamaning yechimlaridan

iborat. Shuning uchun (3) tenglik orqali aniqlangan y(x) funksiya G sohada (1) bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.

Yuqoridagi (3) formula (1) differensial tenglamaning barcha yechimlarini o’z ichiga oladi. Jumladan ushbu

(5)

Koshi masalasining yechimi ham (3) formula tarkibiga kiradi. Bunda va ixtiyoriy berilgan sonlar. Yuqoridagi (4) sistemani (5) dan foydalanib quyidagicha yozish mumkin:

(6)

Bu sistemaning asosiy determinanti noldan farqli bo’lgani uchun, u yagona yechimga ega. Bu topilgan larni (3) formulaga qo’yib

izlanayotgan (5) Koshi masalasining yechimini topamiz. Shuning uchun (1) tenglamaning yechimlar fazosining bazasini tashkil qiladi. tenglama yechimlari fazosi n-o’lchamli chiziqli fazo bo’ladi.