16-§. Differensial tenglama yechimining parametrlarga va boshlang’ich shartlarga bog’liqligi

Natija-1. Ushbu

(5)

Koshi masalasi yagona , yechimga ega. ■

Isbot. Ko’rinib turibdiki funksiya (5) Koshi masalasining yechimidan iborat. Yechimning yagonaligidan natija-1 ning isboti kelib chiqadi. ■

Quyidagi

(6)

belgilash natijasida (1) va (2) differensial tenglamalarni quyidagicha yozish mumkin:

L[y]=g(x), (7)

L[y]=0 . (8)

Bu yerda L[y] ifodaga differensial operator deyiladi. Endi differensial operatorning ayrim xossalari bilan tanishamiz.

Lemma-2. O’zgarmas ko’paytuvchini operator belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya’ni

L[cy]=cL[y], c=const.

Isbot.



Lemma-3. Ushbu

tenglik o’rinli.

Isbot.



Natija -2. Ushbu

tenglik o’rinli. Bu yerda .

Teorema-2. Agar y=y(x) funksiya [a,b] kesmada (8) bir jinsli differensial tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda funksiya ham (8) tenglamaning yechimi bo’ladi.

Isbot. Teorema shartiga ko’ra L[y]=0. Bundan kelib chiqadi.

Teorema-3. Agar funksiyalar [a,b] kesmada (8) bir jinsli differensial tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda

funksiya ham [a, b] kesmada (8) tenglamaning yechimi bo’ladi.

Isbot. Teorema shartiga ko’ra



Natija-3. Agar funksiyalar [a,b] kesmada (8) bir jinsli differensial tenglamaning yechimlaridan iborat bo’lsa, u holda ushbu

funksiya ham (8) tenglamaning yechimi bo’ladi.