15-mavzu. Egrilik (dyupen) indikatrisasi. Eyler formulasi. Bosh yo’nalishlar

Bosh yo'nalishlar
Oldingi mavzuda sirtning ( ) yo'nalishdagi normal egriligi uchun
11()
formulani isbotlagan edik.
Ta'rif 1 Sirtning normal egriligi ning ekstremal qiymatga ega bo'ladigan ( ) yo'nalishlar sirtning bosh yo'nalishlari deyiladi.
Lemma 1. sinfga qarashli sirtning har bir nuqtasida kamida ikkita turli bosh yo'nalishlar mavjud.
Isboti. sirtning nuqtasidagi ixtiyoriy yo'nalish bo'lsin. U holda ushbu ifoda
22()
va o'zgaruvchilarning differensiallanuvchi funksiyasini aniqlaydi. Bu yerdagi koeffisentlar sirtning X nuqtasida hisoblangan va dan bog'liq emas. O'zgaruvchilarni quyidagicha almashtiramiz:

U holda

funksiya da uzluksiz va bo'lgani uchun funksiya kamida bir marta maksimumga va kamida bir marta minimumga erishadi. Bu esa sirtda kamida ikkita bosh yo'nalishi borligini ko'rsatadi. Lemma isbotlandi.
Bosh egriliklar
Ta'rif 2.2 Bosh yo'nalish buyicha normal egrilikning ekstremal qiymatlari sirtning bosh egriliklari deyiladi.
Endi bosh yo'nalishlarni va bosh egriliklarni topish usulini keltiramiz. 2 formuladan va lar uchun quyidagi ayniyatni hosil qilamiz:
33()
Bu tenglikni bo'yicha differensiallaymiz. Bosh yo'nalish bo'yicha hususiy hosilalar nolga teng ekanligidan
44()
kelib chiqadi. 3 ni bo'yicha differensiallab, yuqoridagidek mulohazalarga asosan, ushbuga ega bo'lamiz:
55()
4 va 5 tengliklardagi k - bosh yo'nalishidagi bosh egrilikdir. Sirtning berilgan nuqtasida bosh yo'nalishlar mavjud bo'lgani sababli, 4 va 5 tenglamalar nolmas yechimga ega, demak sistemaning asosiy determinanti nolga teng:
66()
ya'ni

Shunday qilib, sirtning berilgan nuqtasidagi bosh egriliklarni 6 kvadrat tenglamaning yechimlari sifatida topish mumkin ekan. Sirtning har bir nuqtasida kamida ikkita bosh yo'nalish mavjud bo'lganligi uchun 6 kvadrat tenglamaning ikkita va haqiqiy ildizlari bosh egriliklar bo'ladi.
Bu ildizlar yo teng = , yo turlicha bo'lishi mumkin. Har bir holni alohida qaraymiz.
1 hol: . Bu ildizlarga sirtda quyidagi tenglamalar sistemasidan aniqlanadigan va bosh yo'nalishlar mos keladi:
77()
Agar sirtning biror nuqtasidagi koordinata chiziqlarning yo'nalishlari bosh yo'nalishlar bilan ustma-ust tushsa, bu nuqtada va koeffisiyentlar nolga aylanadi.
Haqiqatan, koordinata chiziqlarining yo'nalishlari -- va bosh yo'nalishlar bo'lsa, 7 sistemadan

ekanligi kelib chiqadi. Bu yerdagi ikkinchi va uchinchi tenglamalardan bo'lganligi uchun kelib chiqadi. Shunday qilib, bu xususiy holda bosh egriliklar quyidagicha topiladi:

Aksincha, agar bo'lsa, 3 formuladan koordinata chiziqlarining yo'naliщlari bosh yo'nalish ekanligi kelib chiqadi.
2 hol: Bu holda sirtning nuqtasidagi har bir yo'nalish bosh yo'nalish ekanligini ko'rsatamiz.
Haqiqatan, sirtning har bir nuqtasida kamida ikkita bosh yo'nalish mavjudligi sababli, 4, 5 tenglamalar sistemasi nolmas yechimga ega. Bu esa faqatgina

bo'lgandagina bo'ladi. Ya'ni, 3 formuladan esa ni hosil qilamiz. Demak, har bir yo'nalish buyicha normal egrilik o'zgarmas, shu sababli har bir yo'nalish bosh yo'nalish bo'ladi.