15-mavzu. Dinamikaning umumiy teoremalari Mexanik sistema harakatining differensial tenglamalari

15-mavzu.Dinamikaning umumiy teoremalari


Mexanik sistema harakatining differensial tenglamalari

Mexanik sistema M₁, M ₂, …, M_n nuqtalardan tashkil topgan bo‘lib, sistema nuqtalariga tashqi va ichki kuchlar ta ’sir etadi. Bu sistemaning har bir M_ν nuqtasi uchun dinamikaning asosiy tenglam asi quyidagicha yoziladi:

(14.1.1)

M_v nuqta radius-vektorini r_v , tezligini V_v desak, uning tezlanishi

Shuning uchun (14.1.1) quyidagicha yoziladi:




(14,1,2) yoki
(14.1.3)

(14.1.3) ni Dekart koordinata o ‘qlariga proyeksiyalasak, mexanik sistema harakati differensial tenglam alarining koordinata usulidagi ifodalari hosil b o ‘ladi. Bu differensial tenglam alar soni 3n ta bo‘ladi.

Shunday qilib, sistem aga ta ’sir etuvchi kuchlar berilgan bo‘lsa, sistemani tashkil etuvchi m oddiy nuqtalar harakatini aniqlash uchun vektor usulda 3n ta ikkinchi tartibli differensial tenglam alar sistemasini yechish, bunda hosil bo ‘ladigan integral doim iylarini aniqlash kerak. Sistem ani tashkil etuvchi nuqtalar soni qancha ko‘p boisa , bu differensial tenglam alardan foydalanish shuncha murakkablashadi. Shunga ko‘ra, mexanik sistema dinamikasining asosiy masalalarini yechishda (14.1.3) tenglam a ko‘rinishidagi differensial tenglam alardan foydalanishga qaraganda, (14.1.3) da turlicha shakl alm ashtirishlar bilan hosil qilinadigan dinam ikaning umumiy teorem alari va prinsiplarini qo‘llash qulay bo‘ladi.


Sistema inersiya markazining harakati haqidagi teorema
Sistema inersiya (massa) markazining unga qo‘yilgan tashqi va ichki kuchlar ta’siridagi harakatini aniqlash uchun sistema harakatining differensial tenglam alaridan foydalanamiz.
(14.1.3) tenglam alarni hadlab qo‘shamiz:

Ichki kuchlarning xususiyatiga ko‘ra R‘=0 . Shuning uchun
(14.1.4)
(12.9)ga ko‘ra,

Bu ifodadan vaqt bo‘yicha ikkinchi tartibli hosila olamiz:
(14.1.5)
(14.1.2) ga binoan (14.1.1) ni quyidagicha yozish mumkin:
(14.1.6)
(14.1.6) ifodani moddiy nuqta harakatining differensial tenglamasi (9.8) bilan taqqoslab, massa m arkazining harakati haqidagi teo rem ani hosil qilamiz: sistema massasi inersiya m arkazida joylashgan deb qabul qilinsa, и markaz tashqi kuchlar bosh vektori ta ’sirida xuddi moddiy nuqta kabi harakatlanadi.
(14.1.6) ni koordinata o‘qlariga proyeksiyalasak sistema massa markazi harakati differensial tenglam alarining koordinata usulidagi ifodalari kelib chiqadi:
(14.1.7)
Kinematikadan m a’lumki, ilgarilam a harakatdagi jism ning holati mazkur jism bitta nuqtasining holati bilan aniqlanar edi. Shuning uchun (14.1.6) yoki (14.1.7) tenglam alarni jism ning ilgarilam a harakati differensial tenglam alari deb atash mumkin.
(14.1.6) ni tabiiy koordinata o‘qlariga proyeksiyalasak, tabiiy usuldagi massa markazi harakatining differensial tenglamasi kelib chiqadi:
(14.1.8)