15-mavzu. Differensial tenglama va differensial tenglamalar sistemasini yechishning operatsion usuli. Reja

15-mavzu. DIFFERENSIAL TENGLAMA VA DIFFERENSIAL TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING OPERATSION USULI.


Reja

1. 
   Oʻzgarmas koeffitsiyentli chiziqli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasini operatsion usulda yechish.
   
2. 
   Chiziqli differensial tenglamalar sistemasini operatsion usulda yechish
   

Tayanch soʻz va iboralar. Oʻzgarmas koeffitsiyentli chiziqli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi, operator tenglama, chiziqli differensial tenglamalar sistemasini yechishning operatsion usuli.
1.Oʻzgarmas koeffitsiyentli chiziqli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasini operatsion usulda yechish.
Quyidagicha differensial tenglamani koʻrib chiqamiz:
(1)
Quyidagicha boshlangʻich shartlarni bajaruvchi (1) tenglamaning yechimini qidiramiz:
, … , (2)
Aytaylik ; boʻlsin. (1) ni ikkala tomoniga Laplas almashtirishini va aslni differensiallash teoremasi, hamda Laplas almashtirishini chiziqlilik xossasiga koʻra, (2) boshlangʻich shartli (1) differensial tenglamani oʻrniga operator tenglamaga ega boʻlamiz:
(3)
Operator tenglamaning yechimini topamiz:
(4)
X(p) tasvir boʻyicha x(t) aslni topib, (1) va (2) Koshi masalasi yechimi x(t) ni topamiz.
Misol 1. ; x(0)=1; ; x(t)-?
Yechish.
u holda


kasrni soda kasrlarga yoyamiz:
; A, B, C-koeffitsiyentlarni topamiz.



Demak, yechim

Oʻzgarmas koeffitsiyentli n-tartibli chiziqli differensial tenglamani yechish talab qilingan boʻlsin. Quyida operatsion hisob usulining yana bir varianti bilan tanishamiz.

; (1)
0 ga teng boʻlgan boshlangʻich shartlarda, ya’ni
(5)
yechimini topish talab qilinsin. Aytaylik,
L(x)=1 (6)
xususiy tenglamaning (2) shartlarni bajaradigan yechimi aniq boʻlsin. Operator tenglamaga oʻtamiz:
, (7)
(8)
Operator koʻrinishdagi (7) va (8) tenglamalardan

Dyuamel formulasiga koʻra:
(9)
ekanligini eʼtiborga olib
(10)
bundan (1) tenglamaning (5) nol boshlangʻich shartlardagi x(t) yechimi, quyidagicha boʻladi:
(11)
bunda (6) va (5) yordamchi masala yechimi.
Misol 2. Dyuamel formulasi yordamida boshlangʻich shartlarni bajaruvchi differensial tenglamaning yechimi topilsin.
Yechish. Yordamchi masalani koʻrib chiqamiz:

Operatsion usuldan foydalanib, , , 1

ekanligini topamiz, undan esa

u holda (11) formulaga koʻra
=
.
2. Chiziqli differensial tenglamalar sistemasini operatsion usulda yechish
Oʻzgarmas koeffitsiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasini operator yordamida yechish sxemasi, bitta differensial tenglamani yechish kabidir.
Misol: Quyidagicha differensial tenglamalar sistemasini yeching

Yechish.
Agar , , u holda ;
; va quyidagicha operatorli sistemaga oʻtamiz:
ushbu sistemani yechib
u holda X(p) va Y(p) lar uchun asllar quyidagicha koʻrinishni oladi:

Mavzu yuzasidan savоllar

1. 
   Oʻzgarmas koeffitsiyentli chiziqli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasini operatsion usulda qanday yechiladi?
   
2. 
   Operator tenglama nima?
   
3. 
   Oʻzgarmas koeffitsiyentli chiziqli differensial tenglamalarni 0 ga teng boʻlgan boshlangʻich shartlarda Dyuamel formulasi yordamida yechish qanday bajariladi?
   
4. 
   Chiziqli differensial tenglamalar sistemasini operatsion usulda yechish qanday amalga oshiriladi?