15-ma`ruza Mavzu: Bessel tengsizligi

15-ma`ruza
Mavzu: Bessel tengsizligi
funksiya oraliqda berilgan. Bu funksiya va uning kvadrati ham shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. Odatda bunday funksiyalar kvadrati bilan integ­rallanuvchi deb ataladi.
Agar funksiya da kvadrati bilan integrallanuvchi bo’lsa, u shu ora­liqda absolyut integrallanuvchi bo’ladi. Haqiqatdan ham, ushbu

tengsizlikdan foydalanib

ning mavjud bo’lishini topamiz. Bu esa funksiyaning da absolyut in­teg­­rallanuvchi ekanini bildiradi.
Ammo funksiyaning absolyut integrallanuvchi bo’lishidan, uning kvadrati bilan integrallanuvchi bo’lishi har doim kelib chiqavermaydi.
Masalan, ushbu

funksiya da integrallanuvchi, lekin

funksiya esa da integrallanuvchi emas (qaralsin, 16-bob, 5-§).
Demak, kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyalar to’plami, absolyut integ­rallanuvchi funksiyalar to’plamining qismi bo’ladi.
funksiya da kvadrati bilan integrallanuvchi funksiya, darajasi dan katta bo’lmagan trigonometrik ko’phad bo’lsin:

Ravshanki, bunday ko’phadlar ham da kvadrati bilan integrallanuvchi bo’ladilar. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan
(20.31)
integralning ham mavjudligi kelib chiqadi. Bu integral muayyan da

larga bog’liq:
.
Endi quyidagi masalani qaraylik. Shu koeffsientlar qanday tanlab olingandan eng kichik qiymatga ega bo’ladi? Bu masalani hal etish uchun yuqoridagi (20.31) integralni hisoblaylik:
(20.32)
funksiya Fure koeffsientlari uchun

formulalardan foydalansak,
(20.33)
bo’ladi.
Agar

ekanini e’tiborga olsak, u holda
(20.34)
bo’ladi. Yuqoridagi (20.32), (20.33), (20.34) tengliklardan foyda­la­nib quyidagini topamiz:

Bu tenglikdan ko’rinadiki,

integral

bo’lgandagina o’zining eng kichik qiymatiga erishadi va u qiymat

bo’ladi, ya’ni:
.
Shunday qilib quyidagi teoremani isbotladik.
3-teorema. funksiya da kvadrati bilan integrallanuvchi bo’lsin. Darajasi dan katta bo’lmagan barcha trigonometrik ko’phadlar ichida ushbu

integralga eng kichik qiymat beruvchi ko’phad funksiya Fure qatorining qismiy yig’indisi bo’ladi:
(20.35)
3-natija. Agar funksiya da kvadrati bilan integrallanuvchi bo’lsa, u holda bu funksiyaning Fure koeffsientlari kvadratlaridan tuzilgan:

qatorlar yaqinlashuvchi bo’ladi va quyidagi tengsizlik o’rinlidir:
(20.36)
◄ (20.35) munosabatdan

ya’ni, uchun

bo’ladi. Bu erda ni cheksizlikka intiltirib, keltirilgan natijani va tengsizlikni hosil qilamiz.
(20.36) tengsizlik Bessel tengsizligi deb ataladi.