15- mavzu Egri chiziqli integrallar

2-teorema. Agar va funksiyalar sohada Grin teoremasining shartlarini bajarsa quyidagi tasdiqlar teng kuchli bo’ladi:
1) ixtiyoriy nuqtalarni tutashtiruvchi yoy uchun

integralning qiymati integrallash yo’liga bog’liq bo’lmaydi, bunda eng qulay
integrallash yo’li sifatida va nuqtalarni tutashtiruvchi hamda qismlari va
o’qlariga parallel siniq chiziqni olish mumkin;
2) sohada tenglik bajariladi;
3) sohadagi istalgan yopiq kontur uchun bo’ladi;
4) ifoda to’liq defferensial bo’ladi, ya’ni sohada shunday funksiya topiladiki tenglik bajariladi, bunda funksiya
yoki formulalardan biri bilan aniqlanadi, bu yerda , sohaga tegishli nuqtalar, o’zgarmas son.
7-misol. integralni hisoblang, bu yerda va
nuqtalarni tutashtiruvchi chiziq.
Y e c h i s h. uchun va , ya’ni
. Demak, berilgan integral integrallash yo’liga bog’liq emas.
Integrallash yo’li sifatida qismlari va o’qlarga parallel siniq chiziqni
olamiz. Siniq chiziqning birinchi qismida
Ikkinchi qismda:
Demak,


8-misol. differensial tenglamani yeching.
Y e c h i s h. .
Bundan,
, ya’ni .
U holda 2- teoremaning 4-shartiga binoan ya’ni
bo’lsin deymiz.
U holda

yoki



O’z-o’zini tekshirish uchun savollar
1. Berilgan chiziq bo’yicha birinchi tur egri chiziqli integral deb nimaga aytiladi?
2. Birinchi tur egri chiziqli integral qanday geometrik ma’noga ega?
3. Birinchi tur egri chiziqli integralning mexanik ma’nosini ayting.
4. Egri chiziq tenglamasi parametrik ko’rinishda berilgan bo’lsa birinchi tur egri chiziqli integral qanday hisoblanadi? Birinchi tur egri chiziqli integralni qutb koordinatalarida hisoblash formulasini yozing.
5. Egri chiziq tenglamasi ko’rinishda berilsa birinchi tur egri chiziqli integral qanday hisoblanadi? Misollar kleltiring.
6. Egri chiziq bo’ylab olingan ikkinchi tur egri chiziqli integralning ta’rifini ayting.
7. Nuqtaning kuch ta’sirida egri chiziq bo’ylab harakatida bajarilgan ish qanday aniqlanadi?
8. Integrallash konturi yo’nalishi ikkinchi tur egri chiziqli integral kattaligiga qanday ta’sir ko’rsatadi?
9. Integrallash konturi yopiq bo’lganda aylanib o’tishning musbat yo’nalishi qanday belgilanadi?
10. Ikkinchi tur egri chiziqli integralni hisoblash formulalarini keltiring. Misollar bilan to’ldiring.
11. Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar qanday bog’lanadi?
12. Grin formulasini yozing va isbotlang.
13. Egri chiziqli integralning integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligi haqidagi teoremani ayting.