14-маъруза. Сиртнинг иккинчи квадратик формаси

14-маъруза. СИРТНИНГ ИККИНЧИ КВАДРАТИК ФОРМАСИ.
РЕЖА:

1. 
   Сирт устида чизиқ эгрилиги билан сиртнинг нормал эгрилиги орасидаги боғланиш.
   
2. 
   Сиртнинг иккинчи квадратик формаси.
   
3. 
   Иккинчи квадратик форма коэффициентлари учун ифодалар.
   

Тенгламаси r=r(u,v) бўлган сирт устида  эгри чизиқ берилган бўлсин. эгри чизиқда s табиий параметрни киритамиз. У холда эгри чизиқ бўйлаб u ва v лар s параметрнинг функциялари бўлади. Эгри чизиқ тенгламаси r=r(u(s),v(s)) кўринишда бўлади. Бизга маълумки r"_ss=kν. Бу тенгликни сиртнинг бирлик нормал вектори n га скаляр кўпайтириб, қуйидаги

r"_ss=kсоs (1)
тенгликни оламиз. Бу ерда  -  ва n векторлар орасидаги бурчак. (1) тенгликнинг чап томонини қуйидагича шакл алмаштириш қиламиз:
r"_ss=r_uu"+ r_vv"²+2 r_uvu'v'+ r_vvv'²
бўлгани учун ва r_un=0, r_vn=0 эканини эътиборга олсак:
r_ssn=(r_uun)u'²+2(r_vvn)u'v'+(r_vvn)v'²=
= = (2)
(2) тенглик суратидаги ифода квадратик формадан иборат бўлиб, уни сиртнинг 2-квадратик формаси деб юритилади ва одатда  билан белгиланади. Демак,
=
иккинчи квадратик форманинг коэффициентлари учун қуйидаги белгилашларни киритамиз:
r_uun=L; r_uvn=M; r_vvn=N.
Бундан (1) формулага асосан
=kсоs=Ldu²+2Mdudv+Ndv² (3)
бўлади.
Бу формуладан шу нарса маълум бўладики, kсоs миқдор фақат эгри чизиқнинг йўналишига боғлиқ экан. Шунинг учун умумий уринмага эга бўлган барча эгри чизиқлар учун kсоs бир хилдир.
Таъриф. Сиртнинг уринма текисликка перпендикуляр текислик билан кесими унинг нормал кесими дейилади.
Таъриф. Сирт нормал кесимининг эгрилиги сиртнинг берилган нуқтадаги нормал эгрилиги дейилади ва k_п билан белгиланади.
Агар эгри чизиқ сифатида сиртнинг нормал кесимини олсак, у холда |соs|=1 бўлади. Демак, k|соs|=k_n бўлади.
Агар нормал эгрилик зарур ишорани белгиласак, у холда охирги тенгликни
kсоs=k_n (4)
кўринишда ёзишимиз мумкин. Бунда
k_n=
сирт устидаги эгри чизиқ эгрилиги билан сиртнинг нормал эгрилиги орасидаги боғланишни ифодаловчи (4) тенглик Менье теоремасининг моҳиятини ифодалайди.
Энди Ф сирт
x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)
кўринишдаги параметрик тенгламалар билан берилганда 1-ва 2-квадратик формаларнинг коэффициентлари учун ифодалар топамиз.
Ф сиртнинг параметрик тенгламалари
x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)
кўринишда берилган бўлсин.
Юқоридаги белгилашлар асосида 1-квадратик формани коэффициентлари учун ушбу
(6)
тенгликларни топамиз. Иккинчи квадратик форманинг коэффициентлари эса
L=r_uun=r_uu = =
Худди шунингдек,
М= , N= .
Агар Ф сирт z=f(u,v) кўринишдаги тенглама билан берилган бўлса, у юқорида кўриб ўтганимиздек
x=u, y=v, z=f(u,v)
параметрик тенгламаларга тенг кучлидир. Шунинг учун 1-ва 2-квадратик формаларнинг коэффициентлари қуйидагича бўлади:
E=1+z_x², F=z_xz_y, G=1+z_y²
L= , M= , N= .