14-ma’ruza Oddiy differensial tenglamalar uchun Koshi masalasini yechishning sonli metodlari

Oddiy differensial tenglamalar uchun Koshi masalasini
yechishning sonli metodlari.


Kо‘p qadamli ayirmali metodlar.


1) Metodlar tavsifi.


(1)
Koshi masalasini yechish uchun doimiy qadamni

tо‘rni aniqlaymiz.

orqali tо‘rda aniqlangan funksiyalarni belgilaymiz.
Chiziqli qadamli ayirmali metod deb,
(2)
ayirmali tenglamalar sistemasiga aytiladi.
(2)-tenglamani yangi qiymatni oldin aniqlangan qiymatlar orqali ifodalangan rekkurent munosabat sifatida qarash kerak.
Hisoblash , ya’ni

tenglamadan boshlanadi.
Bundan kо‘rinadiki, hisoblashni boshlash uchun ta boshlangich qiymatlarni berish lozim. ya’ni Koshi masalasidan aniqlanadi. qiymatlar berilgan deb faraz qilamiz. (2)-tenglamadan kо‘rinib turibdiki, kо‘p qadamli ayirmali metodlarda Runge-Kutta metodlaridan о‘ng tomoni faqat tо‘rning nuqtalarida hisoblanishi bilan farq qiladi.
(2)-metod bо‘lganda oshkor deb aytiladi. Bunda dastlabki qiymatlar orqali oshkor ifodalanadi. bо‘lgan metod oshkormas deb aytiladi. Bunday xolda - topish uchun
,
bunda

chiziqsiz tenglamani yechish kerak.
Odatda bu tenglamani Nyuton metodi yordamida yechadilar. Bunda boshlang‘ich yaqinlashish sifatida qiymat olinadi. (2) - tenglamaning koeffitsiyentlari umumiy kо‘paytuvchi bilan farq qiladi. Bu erkinlikdan qutilish uchun
(3)
deb talab qilamiz. Bu (2)-ayirmali sxemaning о‘ng tomoni (1)-differensial tenglamaning о‘ng tomonini appoksimatsiyalaydi demakdir.
Hisoblash amalyotida (2)-metodning xususiy holi bо‘lgan Adams metodi kо‘p tarqalgan. Bunda hosila ikkita va nuqtalar orqali approksimatsiya qilinadi, ya’ni

shunday qilib Adams metodi
(4)
kо‘rinishda bо‘ladi. bо‘lganda Adams metodi oshkor, aks holda oshkormas deb aytiladi. (2)-ayirmali sxemalarni о‘rganishda eng avval koeffitsiyentlarning approksimatsiya xatoligiga ta’sirini tekshiramiz, undan sо‘ng bir biriga bog‘lik bо‘lgan tо‘rg‘unlik va yaqinlashishi masalalarini tadqiq etamiz.