14-ma’ruza: Ikkinchi tur egri chichiqli integral

2-teorema. Agar vektor funksiya silliq egri chiziq boʻylab uzluksiz boʻlsa, u holda u bu egri chiziqda integrallanuvchi boʻladi.

egri chiziq tekislikda yotsa va funksiyalar ga bogʻliq boʻlmasa ikkinchi tur egri chiziqli integral

koʻrinishni oladi.

Agar kuch ta’sirida moddiy nuqta egri chiziq boʻylab koʻchayotgan boʻlsa, ikkinchi tur egri chiziqli integral son jihatidan kuchning koʻchish vektori boʻyicha bajargan ishiga teng boʻladi (ikkinchi tur egri chiziqli integralning mexanik ma’nosi), ya’ni

(3.11)

Bundan tashqari yopiq kontur bilan chegaralangan tekis figuraning yuzasi son jihatidan

, , (3.12)

ikkinchi tur egri chiziqli integrallardan biri bilan aniqlanadi (ikkinchi tur egri chiziqli integralning geometrik ma’nosi).

Ikkinchi tur egri chiziqli integral ta’rifidan quyidagi tasdiqlar bevosita kelib chiqadi:

1.

=

2. Agar yoy oʻqqa perpendikulyar boʻlgan toʻgʻri chiziq

kesmasidan iborat boʻlsa, u holda

boʻladi.

3.

4) Ikkinchi tur egri chiziqli integral birinchi tur egri chiziqli integralning barcha xossalariga oʻxshash xossalarga ega boʻladi.

Ikkinchi tur egri chiziqli integral birinchi tur egri chiziqli integral kabi aniq integralga keltirib hisoblanadi.

egri chiziq fazoda parametrik tenglamalar bilan berilgan, ya’ni

va kesmada silliq yoki boʻlakli silliq boʻlsin. Bunda parametr boshlangʻich nuqtaga mos qiymatdan oxirgi nuqtaga mos qiymatgacha oʻzgaradi.

U holda tenglik oʻrinli boʻladi.

Bundan ikkinchi tur egri chiziqli integralni hisoblashning

(3.13)

formulasi kelib chiqadi.

(3.13) tenglikdan yassi egri chiziq yoyi uchun ikkinchi tur egri chiziqli integralni hisoblashning quyidagi formulalari kelib chiqadi:

1) yoy uchun:

; (3.14)

2) yoy uchun:

; (3.15)

3) yoy uchun:

. (3.16)

3-misol. Ikkinchi tur egri chiziqli integrallarni hisoblang:

1) sikloidaning bir arkasi;

2) , parabolaning dan nuqtalar orasidagi boʻlagi.

Yechish. 1) . U holda

2)

fazoda boshi nuqtada va oxiri nuqtada boʻlgan yoʻnalgan silliq yoki boʻlakli-silliq egri chiziq berilgan boʻlsin.

Yoʻnalgan egri chiziqqa oʻtkazilgan urinmalar yoʻnalgan kesmalardan iborat boʻladi. egri chiziqqa nuqtada oʻtkazilgan urinmaning koordinata oʻqlari bilan tashkil qilgan burchaklari boʻlsin.

egri chiziqda elementar yoyni olamiz va uni toʻgʻri chiziqli boʻlsin deymiz. Bu yoy egri chiziqqa nuqtada oʻtkazilgan urinma bilan bir xil yoʻnalgan vektorni beradi.

U holda

boʻladi.

Bundan birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integralni bogʻlovchi



(3.17)

formula kelib chiqadi.

Xususan, yassi egri chiziq uchun

(3.18)

boʻladi.