13-mavzu 13-ma’ruza

Funksiyaning davriyligi
funksiya to‘plamda aniqlangan bo‘lsin.
6-ta’rif. Agar shunday o‘zgarmas son topilsaki uchun bo‘lsa, funksiyaga davriy funksiya deyiladi. Bunda larning eng kichik musbat qiymati ga funksiyaning
davri deyiladi.
Masalan, funksiyaning davri ga, funksiyaning davri ga
teng.
Misollar
1. davrini topamiz. funksiyaning davri bo‘ladi. Bundan .
2. davrini topamiz. Bunda va funksiyalarning davrlari mos ravishda va . U holda funksiyaning davri va sonlarining eng kichik umumiy karralisiga teng bo‘ladi, ya’ni
3. funksiyaning davrini topamiz. Bu funksiyaning davri ekanidan funksiyaning davri bilan bir xil bo‘ladi.
Demak,
3.3.2. Teskari funksiya
Aniqlanish sohasi va qiymatlar sohasi bo‘lgan funksiya berilgan bo‘lsin. Agar bunda har bir qiymatga yagona qiymat mos qo‘yilgan bo‘lsa, u holda aniqlanish sohasi va qiymatlar sohasi bo‘lgan funksiya aniqlangan bo‘ladi. Bu funksiya ga teskari funksiya
deb ataladi va kabi belgilanadi.
va funksiyalar o‘zaro teskari funksiyalar deyiladi. Bunda funksiyaga teskari funksiyani topish uchun tenglamani ga nisbatan yechish (agar mumkin bo‘lsa) yetarli. Masalan, funksiyaga teskari funksiya funksiya bo‘ladi. funksiyaga da teskari funksiya mavjud, da esa mavjud emas, chunki bunda ning har bir qiymatiga ning ikkita qiymati, masalan, ga mos keladi.
Teskari funksiya ta’rifiga ko‘ra va to‘plamlar o‘rtasida bir qiymatli moslik o‘rnatilsagina funksiya teskari funksiyaga ega bo‘ladi. Bundan har qanday qat’iy monoton funksiya teskari funksiyaga ega bo’ladi deyish mumkin bo‘ladi. Bunda agar funksiya o‘ssa (kamaysa), u holda unga teskari funksiya ham o‘sadi (kamayadi).
va unga teskari funksiyalar bitta egri chiziq bilan ifodalanadi’ ya’ni ularning grafigi ustma-ust tushadi. Odatdagidek argument (erkli o‘zgaruvchi) bilan va funksiya (bog‘liq o‘zgaruvchi) bilan belgilansa, funksiyaga teskari funksiya deb yoziladi. Bu egri chiziqning nuqtasi egri chiziqning nuqtasi bo‘lishini bildiradi, ammo bu nuqtalar to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo‘ladi (6-shakl). Shu sababli o‘zaro teskari va funksiyalarning grafiklari va choraklar koordinata burchakla-rining bissektrisalariga nisbatan
simmetrik bo‘ladi.
Misol
funksiyaga teskari funksiyani topamiz. bo‘lgani sababli berilgan funksiya intervalda aniqlangan. Bu funksiya uchun , ya’ni funksiya toq. Funksiya da o‘sadi. Demak, berilgan funksiya da qat’iy monoton va unga teskari funksiya mavjud.
desak, bo‘ladi. Bu tenglikni ga nisbatan yechamiz:
, (chunki funksiya toq).
Bundan yoki .