13 ma’ruza. G‘alayonlanish nazariyasi usullari

3.Vaqtga bog‘liq(nostatsionar) holatlar uchun g‘alayonlanishlar.
Oldingi mavzuda biz qaragan sistema qo‘zg‘almagan holatda turlangan bo‘lsin. Agar sistemada ikki va undan ortiq holatlar bir xil energiyaga ega bo‘lsalar bunday holatlar turlangan yoki aynigan holatlar deyiladi.
Aytilganga ko‘ra qo‘zg‘almagan sistema uchun bu SHredinger tenglamasi
Ĥ⁰ Ψ⁰_nα = E⁰_n Ψ⁰_nα (13.19)
Ko‘rinishda bo‘ladi. Bu erda n = 1,2,3,…; α = 1,2,3,…f ; energiyaning bitta qiymatida f ta funksiya to‘g‘ri kelmoqda. SHuning uchun f holatlarning turlanish darajasini ko‘rsatadi.
Oldingi mavzuda ko‘rganimizdek qo‘zg‘algan sistema uchun yozilgan SHredinger tenglamasi
(Ĥ + Ŵ) Ψ =E Ψ (13.20)
(13.20)dagi Ψ ni Ψ⁰_nα bo‘yicha qatorga yoyib yozamiz
Ψ = C_nα Ψ⁰_nα
va uni (13.20) ga qo‘yib hosil bo‘lgan tenglamani chap tomonidan Ψ^0*_mβ ga ko‘paytiramiz va integrallaymiz.
C_nα Ψ^0*_mβ (Ĥ⁰ + Ŵ) Ψ⁰_nα dx = E C_nα Ψ^0*_mβ Ψ⁰_nα dx (13.21)
Bu erda turlangan funksiyalar uchun ortonormallik sharti quyidagicha bo‘ladi
Ψ^0*_mβ Ψ⁰_nα dx = δ_mn δ_βα
U holda (13.20) tenglama matritsa shaklida quyidagicha yoziladi
(E⁰_m +W_mβ – E_nα) C_mα + W_{mβ ,nα} C_nα = 0 (13.22)
Bu erda
W_{mβ ,nα} = Ψ^0*_mβŴ Ψ⁰_nα dx
Biz endi E⁰_k ga yaqin va qo‘zg‘algan sistemaning E_k kvant sathini va unga hos hususiy funksiyalar Ψ_kα ni topaylik. Bu masalani energiya uchun birinchi yaqinlashuvida funkwiya uchun esa nolinchi yaqinlashuvda echamiz.
Turlanish bo‘lmaganda ko‘rdikki, nolinchi yaqinlashuvda funksiya qo‘zg‘almagan holdagi funksiyaga teng bo‘ladi. SHunga ko‘ra nolinchi yaqinlashuvda S⁰_kα = 1 qolgan barcha funksiyalar nolga teng bo‘lar edi. Turlanish mavjud bo‘lganda bunday bo‘lmaydi, chunki nolinchi yaqinlashuvda (Ŵ = 0 bo‘lganda) (13.22) dan
(E⁰_k –E) C_kα = 0
ekanligini topamiz. Bundan E = E⁰_k uchun C⁰_kα ≠ 0 ya’ni E⁰_k ga tegishli barcha C_kα funksiyalar (ularning soni β = 1,2,3,…,f ta bo‘lsin) nolga teng bo‘lmaydi. SHuning uchun E⁰_k ga tegishli funksiyalar uchun nolinchi yaqinlashuvda
C_kα = C⁰_kα ,α = 1,2,3,…,f
C⁰_nα = 0 (n≠k) (13.23)
deb yozish to‘g‘ri keladi. SHunga ko‘ra (13.22) tenglamani quyidagicha yoza olamiz:
(E⁰_k + W_{kβ , kβ} – E) C⁰_kβ + W_{kβ ,kα} C⁰_kα = 0 (13.24)
(13.24) ni soddaroq ko‘rinishda yozish uchun
W_{kβ , kβ} = W_ββ , C⁰ _kβ = C⁰ _β
deb belgilaymiz hamda (13.24) ni
(E⁰_k + W_ββ – E) C⁰_β + W_βα C⁰_α = 0 (13.25)
k o‘rinishda algebraik tenglamalar sistemasiga kelamiz (13.25) tenglama noldan farqli echimga ega bo‘lishi uchun uning koeffitsientlaridan tashkil topgan quyidagi aniqlovchi nolga teng bo‘lmog‘i kerak.
E⁰_k + W₁₁ – E W₁₂ W_{13 ………………} W_1f
W₂₁ E⁰_k + W₂₂ – E W_{23 ………………} W_2f (13.26)
W_f1 W_{f 2} W_f3…….. E⁰_k + W_ff – E
Bu erda E^f darajalik algebraik tenglama hisoblanadi va f ta ildizlarga ega bo‘ladi:
E = E_k1 , E_k2 , E_k3 ,…, E_kf (13.27)
Qo‘zg‘alish nazariyasi usulida qo‘zg‘atuvchi ta’sir Ŵ kichik deb qaralganidan unga to‘g‘ri keluvchi W_βα matritsa elementlari ham kichik kattalik hisoblanadi. SHu sabab (13.27) ildizlar bir- biridan juda kam farq qiladi. Demak biz quyidagi hulosaga kelishimiz mumkin: aynish mavjud bo‘lgan holatlarda, ya’ni turlangan holatlarga ega bo‘lgan sistema qo‘zg‘atilsa turlangan sath (E⁰_k) bir necha bir- biriga yaqin joylashgan sathlarga ajratib ketadi. Agar (13.27) ildizlar barchasi bir-biridan farq qilsalar qo‘zg‘alish sistemadagi turlanishni tulasincha yo‘qotadi. Agar qaralayotgan ildizlarning ayrimlari o‘zaro teng bo‘lib qolsa, turlanish qisman yo‘qotilgan deb hisoblanadi.
(13.27) ildizlarni birma bir (13.25) tenglamalarga yoyib har bir ildizga to‘g‘ri keluvchi S⁰_β amplitudalarini topamiz.
Turlangan(aynigan) sistemada qo‘zg‘alish nazariyasining qanday ishlatilishini vodorod atomi uchun SHtrakning chiziqli effekti misolida qarab chiqamiz.