13. 1-mavzu. Kompleks o’zgaruvchili funksiyalarni differensiallash. Hosila mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari Dars rejasi

12.2-Misol. integral hisoblansin. Bu yerda aylana soat strelkasiga teskari yo’nalishda o’tiladi.
Yechish. Aylana silliq chiziq bo’lib, uning parametrik tenglamasi dan iborat. bo’lganligidan (12.5) ga asosan
.
Vazifa: integral hisoblansin, bunda butun son, aylanadagi yo’nalish 12.1-misoldagidek.


12.5. Integralning asosiy xossalari. Quyida keltiriladigan xossalarning barchasidagi integrallarni mavjud deb hisoblaymiz.
Quyidagi to’rtta xossa integral ta’rifidan bevosita kelib chiqadi.
12. Agar chiziqni musbat va manfiy yo’nalishlarda o’tishdan hosil bo’lgan chiziqlarni mos ravishda va desak,u holda .
12. Ixtiyoriy kompleks o’zgarmas uchun .
12. Agar chiziq bo’ylab musbat yo’nalishda harakat qilganda u ketma-ket uchraydigan chiziqlardan tashkil topgan bo’lsa, u holda .

(12. xossalarini isbotlash talabalarga havola qilinadi).
Agar chiziqda tengsizlik bajarilsa, u holda

tengsizlik o’rinli, bunda chiziqning uzunligi.
Isbot. .Bu tengsizlikda da limitga o’tsak, 12. xossa kelib chiqadi.
12. xossa quyidagi yanada aniqroq tengsizlikdan ham kelib chiqadi.
.
Bu xossaning isboti tengsizlikdan kelib chiqadi.
Kompleks analizda sohaning chegarasi bo’yicha olingan integrallar muhim rol o’ynaydi. Faraz qilaylik, soha chegarasi chekli dona yopiq to’g’rilanuvchi Jordan chiziqlaridan iborat bo’lsin.
12.6-Ta’rif. Agar funksiya sohaning chegarasi da uzluksiz bo’lsa, u holda bo’yicha musbat yo’nalishda funksiyadan olingan integral deb, ni tashkil etuvchi barcha chiziqlar bo’yicha dan olingan integrallarning yig’indisiga aytiladi:
,
bu yerda -chiziqlardagi integrallash yo’nalish shunaqaki, shu yo’nalish bo’ylab harakat qilganda soha chap tomonda qoladi.