12–MA’ruza. Mikrozarralarning korpuskulyar- to’lqin dualizmi

12.6. Bir o‘lchamli to‘g‘ri burchakli cheksiz baland to‘siq 

ichidagi zarra 

 

Bizga  ma’lumki,  Shredinger  tenglamasi  faqat  xususiy  hollar 

uchun o‘z yechimiga ega bo‘ladi. Bizga cheksiz baland ikkita to‘siq 

orasiga  joylashgan  zarra  berilgan  bo‘lsin,  ya’ni  zarra  to‘siq 

ichidagina mavjud, tashqarida mavjud emas. 

 

 

(12.19) 

 

  oraliq  uchun  Shredinger  tenglamasi  quyidagi  ko‘rinishga 

ega bo‘ladi: 

 

12.2-rasm. To‘g‘ri burchakli cheksiz uzun o‘ra ichida zarra 

 

 

(12.20) 

 

 

(12.21) 

deb belgilasak, (  – to‘lqin soni) u holda (12.20) – formula: 

 

(12.22) 

Bu tenglamaning yechimi: 

                     (12.23) 

 

Bu  yerda, 

–  to‘siqlar  orasida  to‘lqin  amplitudasi;    –  to‘siqdan 

qaytayotgan to‘lqin amplitudasi. 

Ammo shartga ko‘ra 

 

 

 

 

 

 

---

 

bo‘lganligi uchun 

 

bo‘ladi. 

U holda (12.23) – formulani quyidagicha yozamiz: 

 

yoki 

                                (12.24) 

Bundan ko‘rinadiki,  

 

Umuman olganda, 

 

(12.25) 

 = 1, 2, 3, …. 

(12.21)  va  (12.25)  ifodalarni  birgalikda  ishlab  elektronning 

energiyasini topamiz: 

 

(12.26) 

                                      

(12.26) ifodadan ko‘rinadiki, sathlardagi elektronning energiyasi 

diskret  qiymatlarga  ega  bo‘ladi. 

  -  energetik  sathlar 

deyiladi. 

(12.25) ifodani (12.24) ifodaga qo‘yamiz va xususiy difraksiyani 

topamiz: 

 

(12.27) 

Agar  biror  kattalikning  qiymati  uzluksiz  emas,  ma’lum  bir 

qonuniyat  bilan  o‘zgaradigan  diskret  qiymatlarga  ega  bo‘lsa,  bu 

kattalik kvantlangan deyiladi. 

(12.26)  ifodada,    =  1  –  birinchi  sath;  n  =  2  –  ikkinchi  sath  va 

hokazo. 

Bu funksiyasining qiymatlarini hisoblab grafik holda chizsak, u 

quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi. 

 

---

 

12.3-rasm

 

 

Bu grafiklardan zarraning holati ehtimolligini aniqlash mumkin. 

Masalan, to‘siqning o‘rtasida ikkinchi sathda joylashgan ehtimollik 0 

ga teng. 

Sathlar  orasidagi  energetik  masofa  quyidagi  formuladan 

topiladi: 

 

 

Agar to‘siqning kengligi 

 bo‘lsa, 

 

 

 

Bu  juda  kichik  qiymat,  ya’ni  sathlar  deyarli  tegib  turadi.  Bu 

yerda  diskretlik  qonuni  bajarilmaydi.  Zarraning  holati  klassik 

mexanika qonunlariga mos keladi. 

Agar 

 bo‘lsa, 

 

 

Elektron  holat  uchun  umuman  zarra  uchun  bu  energiya  katta 

qiymat  hisoblanadi.  Bu  holda  zarra  kvant  mexanika  qonunlariga 

bo‘ysunadi. 

To‘siq juda kichik bo‘lsa va to‘siqlar orasidagi masofa ham juda 

kichik  bo‘lsa,  zarra  to‘siqni  aylanib  o‘tmasdan  sizib  o‘tib  ketishi 

mumkin. Bunday o‘tish tunnel o‘tish deyiladi.