12-mavzu. O’z-o’ziga qo’shma almashtirishlar

12.7-teorema. Aytaylik, almashtirish o‘lchamli fazoda o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirish bo‘lsin. U holda shunday ortonormal bazis mavjudki, bu bazisda almashtirishning matritsasi diagonal shaklga kelib, elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘ladi. Va aksincha, agar biror ortonormal bazisda almashtirishning matritsasi diagonal shaklda va elementlari haqiqiy sonlar bo‘lsa, u holda o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirish bo‘ladi.
Isbot. Dastlab, teoremaning birinchi qismini isbotlaymiz. 12.3-teoremaga ko‘ra, o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirish juft-jufti bilan ortogonal bo‘lgan xos vektorlarga ega. Bu xos vektorlarni bazis sifatida tanlab olsak,




bo‘lganligi uchun almashtirishning ushbu bazisda matritsasi
(12.1)
ko‘rinishga keladi. O‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirishning xos sonlari haqiqiy sonlar bo‘lganligi uchun lar haqiqiydir.
Aksincha, biror ortonormal bazisda almashtirishning matritsasi (12.1) ko‘rinishda bo‘lsin. Ma’lumki ortonormal bazisda o‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirishning matritsasi almashtirish matritsasidan uni transponirlash va xar bir elementini qo‘shma kompleks son bilan almashtirish orqali hosil bo‘ladi.
Bu operatsiyalarni (12.1) ko‘rinishdagi matritsaga qo‘llasak, barcha sonlarning haqiqiy ekanligidan shu matritsaning o‘zini hosil qilamiz. Demak, hamda almashtirishlarga bitta matritsaning o‘zi to‘g‘ri keladi, ya’ni . O‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirish xos vektorlarining yana bir xossasini keltiramiz.
12.8-tasdiq. O‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirishning turli xos qiymatlariga mos bo‘lgan xos vektorlari o‘zaro ortogonaldir.
Isbot. Darhaqiqat, agar bo‘lib, bo‘lsa,

tenglikdan

yoki

kelib chiqadi. bo‘lganligi uchun 