|
1 2.6. Ixtiyoriy kuchlar sistemasining ishi
Erkin qattiq jismning nuqtalariga mos ravishda kuchlar sistemasi qo’yilgan bo’lsin (12.17-rasm). Bu kuchlarning biror vaqt oralig’idagi ishlarining yig’indisini hisoblaymiz. (12.23) formulaga asosan kuchning ishi ni aniqlaymiz:
Bunda bilan nuqtaning tezligi belgilangan. Qutb sifatida jismning inertsiya markazi O nuqtani olsak, erkin jism nuqtasining tezligini aniklash formulasiga ko’ra bo’ladi. Bunda jism inertsiya markazining tezligi, jismning qutbga nisbatan sferik harakatining oniy burchak tezlik vektori, nuqtani nuqta bilan tutashtiruvchi vektor. U holda
bo’ladi. Berilgan kuchlar sistemasining vaqt oraligidagi ishi sistema kuchlarining ushbu vaqt oraligidagi ishlarining yig’indisiga teng. CHunonchi, bu ishni A orqali belgilasak,
bo’ladi. berilgan kuchlar sistemasining bosh vektori, berilgan kuchlar sistemasining O nuqtaga nisbatan bosh momentidan iborat. U holda
hosil bo’ladi. (12.30) tenglikning o’ng tomonidagi birinchi qo’shiluvchi jismning unda olingan qutb bilan birlikda ilgarilama kuchishida jismga quyilgan kuchlar bosh vektorining ishini, ikkinchi qushiluvchi esa, jismning qutb atrofida aylanma ko’chishidagi barcha kuchlardan qutbga nisbatan olingan bosh momentning ishini ifodalaydi.
(12.30) ifodadan foydalanib, xususiy hol sifatida, jismning ilgarilama ( ), O nuqta atrofida yoki O nuqtadan o’tuvchi o’q atrofida aylanma harakatlarida unga qo’yilgan kuchlarning ishini hisoblash formulalarini hosil qilish mumkin.
12.7. Kuch maydoni. Kuch funktsiyasi. Potentsial kuchlar va ularning xossalari
Moddiy nuqta va mexanik sistema harakatining differentsial tenglamalarini tuzishda ta’sir qiluvchi kuchlar vaqtga, koordinatalarga, tezlikka bog’liq bo’lishi mumkinligi ko’rsatilgan edi. Kuchlar qanday o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lmasin, fazoning ular ta’siri mavjud qismi kuch maydonini hosil qiladi. Kuch maydoniga kiritilgan moddiy nuqta yoki mexanik sistemaga ta’sir qiluvchi kuchlar qanday o’zgaruvchilarning funktsiyasi ekanligiga qarab kuch maydonlari farqlanadi. Masalan, gravitatsion kuchlar maydonini olaylik. Har bir jism fazoda shunday xususiyat uyg’otadiki, bunday fazoga kiritilgan ikkinchi bir jismga uning koordinatalariga bog’liq bo’lgan kuch – gravitatsion kuch ta’sir qila boshlaydi Bunday hollarda birinchi jism gravitatsion kuchlar maydonini hosil kildi, deyiladi. Ikkinchi jism esa gravitatsion kuchlar maydonida harakati o’rganilayotgan jism bo’ladi. Ikkinchi misol sifatida magnit maydonni olaylik. Ma’lumki. tokli o’tkazgich fazoda shunday xususiyat uyg’otadiki, bunday fazoda harakaglanuvchi zaryadlangan har qanday jismga kuch ta’sir qila boshlaydi. Bu kuch jismning tezligiga bog’liq bo’ladi. Tokli utkazgich hosil qilgan kuch maydoni magnit maydonpi ifodalaydi.
Kuch maydonlari statsionar va nostatsionar bo’lishi mumkin. Agar maydon kuchlari, bu maydonga kiritilgan jismlarga bog’liqsiz ravishda vaqtning biror funktsiyasi sifatida o’zgarsa, bunday maydon nostatsionar maydon bo’ladi. Nostatsionar maydon kuchlari vaqtning biror funktsiyasi sifatida ifodalanadi. Statsionar maydon - kuchlari esa vaqtga bog’liq bo’lmaydi.
Nazariy mexanikada faqag koordinatalargagina bog’liq bo’lgan kuchlar maydoni muhim ahamiyagga ega. Bunday kuchlar uchun kuch funktsiyasi tushunchasi kiritiladi. Proektsiyalari bo’lgan va biror nuqtaga ta’sir qiluvchi kuchning kuch funktsiyasi deb quyidagi
tenglamalardan aniqlanuvchi funktsiyaga aytiladi. Agar berilgan kuch uchun kuch funktsiyasi mavjud bo’lsa, bunday kuchlar maydoni potentsial maydon deyiladi, kuchlarning o’ziga esa potentsial kuchlar deyiladi. Ravshanki, har qanday kuch potentsial kuch, uning maydoni potentsial maydon bulavermaydi. Berilgan kuch potentsial kuch bo’lishi uchun
tenglamalarning o’rinli bo’lishi zarur va yetarlidir. Buni isbotlaylik. potentsial kuch bo’lib, funktsiya uning uchun kuch funktsiyasi bo’lsin. U xolda bu funktsiya (12.31) munosabatlarni qanoatlantiradi. (12.31) tenglamalarni differentsiallab,
ifodalarni hosil qilamiz. Bunda bo’lgani uchun hosil bo’ladi, ya’ni berilgan kuchning potentsial kuch bo’lishidan (12.32) munosabatning o’rinli bo’lishi kelib chiqadi. (12.32) munosabatning yetarli shart ekanligini ham isbot qilish mumkin.
funktsiya differentsial tenglamalarning yechimi sifatida aniqlanganidan, u o’zgarmas son aniqligida topiladi.
Mexanik sistema va bu sistemaga ta’sir qiluvchi kuchlar sistemasi berilsin. Bu kuchlar sistemasining kuch funktsiyasi deb quyidagi tenglamalardan aniqlanuvchi funktsiyaga aytiladi:
Berilgan kuchlar sistemasi uchun kuch funktsiyasi mavjud bo’lsa, sistema potentsial kuchlar sistemasini, ular hosil qilgan maydon esa potentsial maydonni tashkil qiladi. Berilgan kuchlar sistemasi potentsial maydon hosil qilishi uchun
munosabatlarning o’rinli bo’lishi zarur va yetarlidir.
Statsionar potentsial maydonni tashkil qiluvchi kuchlar ta’sirilagi mexanik sistema konservativ sistema deyiladi.
Potentsial kuchlarning quyidagi xossalari mavjud:
xossa. Proektsiyalari bo’lgan kuch potentsial kuch bo’lishi uchun
ifoda kuch funktsiyasining to’liq differentsiali bo’lishi zarur va yetarlidir. Haqiqatan, kuch potentsial kuch bo’lsa, uning uchun kuch funktsiyasi mavjud bo’lib, bo’ladi. Buni e’tiborga olib, (12.33) ning to’liq differentsial ekanligini ko’rsatamiz:
Aksincha, agar (12.33) biror funktsiyaning to’liq differentsiali, ya’ni bo’lsa,
yozish mumkin. differentsiallar bir-biriga bog’liq bo’lmaganidan oxirgi tenglikdan kelib chiqadi, ya’ni berilgan kuch potentsial kuch bo’ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
