12- amaliy mashg’ulot 12. Trigonometrik funksiyalarni integrallash

Misollar.

1. 
   ni hisoblashda almashtirishdan foydalanamiz.
   

ni va ni inobatga olsak,

yoki z ni bilan almashtirsak,

2. 
   ni hisoblashda ham almashtirishni qo’llaymiz:
   

dan, A= 1/7, B= 6/7 va D=1 larni topamiz. U holda:

3. ni hisoblashda Cosx=z almashtirishni qo’llaymiz, chunki (-Sinx)³=-Sin³x. ni va-Sinxdx=dz dan ekanliklarini inobatga olsak, quyidagiga ega bo’lamiz:

va

.

ni hosil qilamiz.

4. ni hisobllashda Sinx=z almashtirishdan foydalanamiz.

5. ni hisoblashda tgx=z almashtirishni qo’llaymiz, chunki integral belgisi ostidagi funksiya Sinx va Cosx ga nisbatan juft funksiyadir.

Algebraik irratsionalliklarni integrallash.

1. 
   kabi integrallarni hisoblash lozim bo’lsin. Bu yerda: - kasr ratsional sonlar bo’lib, esa, o’z argumentlariga nisbatan ratsional funksiyadir. Bu xildagi
   

irratsionallik x=zⁿ, dx=nz^n-1dz kabi almashtirish orqali ratsionallashtiriladi. Buerdagi n, kasr sonlar maxrajlarining eng kichik umumiy karralisidir.
2) turdagi integralni ratsionallashtirish uchun (bu yerda ham lar kasr ratsional sonlar va R, o’z argumentlariga nisbatan ratsional funksiya) almashtirishdan foydalanamiz. Xususan, ning o’rnida qatnashganda ham almashtirish qo’llaniladi (n- sonlar maxrajlarining eng kichik umumiy karralisidir).

1-Misol.





2-Misol.



3-Misol.



4-Misol.



5-Misol.



6-Misol.



Integral belgisi ostidagi funksiyani eng sodda kasrlarga ajratamiz:

dan

Demak,

3. 
   kabi integrallarni hisoblashning ayrim hollarini ko’rib qtamiz.
   

1. 
   Agar ko’rinishdagi integralni hisoblash lozim bo’lsa, u yerda kvadrat uchhaddan tqla kvadrat ajratilgandan so’ng, mazkur integral jadval integraliga keltiriladi.
   

1-Misol. .

2-Misol.

2. 
   Ushbu ko’rinishdagi integralni hisoblash uchun avvalo, suratda kvadrat uchhadning hosil asi ni ajratiladi, keyin u ikkita integral yig’indisiga ajraladi. Ulardan biri, darajali funksiyadan olingan integral bo’lib, ikkinchisi a) bandda qaralgan integraldir.
   

3-Misol.



4-Misol.

3. 
   quyidagi integralni hisoblash uchun almashtirish orqali uni (a) bandda ko’rilgan) integralga keltiriladi.
   

5-Misol. ni hisoblashda yoki dan foydalanamiz. Agar ekanliklarini inobatga olsak, quyidagini hosil qilamiz:



6-Misol.



.

4. 
   Endi, ga ratsional bog’liq bo’lgan umumiy ko’rinishdagi ni qarab chiqamiz. Kvadrat uchhaddan to’la kvadrat ajratilgandan so’ng, ya’ni, da deb belgilashlarni kiritamiz. Natijada, dastlabki integral a va (b²-4ac) ning ishoralariga bog’liq holda integrallardan birini topishga keltiriladi:
   

1. 
   Agar a>0 va b²-4ac<0 bo’lsa, u xolda
   

, bu yerda , .

Mazkur integral almashtirish orqali ga keltiriladi.

2. 
   Agar a>0, b²-4ac>0 bo’lsa, u holda
   

kabi bo’lib (bu yerda: aqn², ), uni ga keltirish uchun almashtirishdan foydalaniladi.

3. 
   Agar a<0, b²-4ac>0 bo’lsa, u holda da (yoki ) almashtirish qo’llanadi. Bu yerda : n²=-a, .
   

Yuqorida bayon etilgan almashtirishlar, odatda, irratsionalliklarni integrallashda trigonometrik almashtirishlar deb yuritiladi.
1-Misol. ni hisoblashda x=2tgt almashtirishni qo’llaymiz. U holda: .

Agar ekanligini nazarda tutsak, natijada:

.

2-Misol. .

Agar va ekanligini inobatga olsak, . Demak, .

3-Misol. da yoki almashtirish bajariladi. Agar va larni o’rniga qo’yilsa, quyidagini hosil qilamiz:

.

4-Misol.



5-Misol.



6-Misol.



larni e’tiborga olsak, mazkur integral oxirigacha hisoblanadi.

1.			7.					13.
		Trigonometrik	va			irrasional			funksiyalarni					integrallang
1.				21.						41.
2.				22.						42.
3.				23.						43.
4.				24.						44.
5.				25.						45.
6.				26.						46.
7.				27.						47.
8.				28.						48.
9.				29.						49.
10.				30.						50.
11.				31.						51.
12.				32.						52.
13.				33.						53.
14.				34.						54.
15.				35.						55.
16.				36.						56.
17.				37.						57.
18.				38.						58.
19.				39.						59.
20.				40.						60.