11-variant Oshkor sxema Runge-Kutta metodlari

“AMALIY MATEMATIKA VA INFORMATIKA” YO’NALISHI 3-BOSQICH TALABASI KELDIYOROV SARDORNING “HISOBLASH USULLARI” FANIDAN YOZGAN YAKUNIY NAZORAT ISHI

11-variant

1. Oshkor sxema

2. Runge-Kutta metodlari

3. Chegaraviy masalalarni yechish

4. Integralning qiymatini 3 xona aniqlikda Trapetsiya, Simpson formulalari yordamida hisoblang



5.Quyidagi tеnglama bеrilgan shartlarda Eylеr usuli bilan yеchilsin



JAVOBLAR

1. Oshkor sxema.

Ayirmali sxemani qurish uchun, hamma vaqt erkli o`zgaruvchilar sohasida to’rni aniqlab, shablonni, ya’ni differentsial ifodani ayirmali sxemaga almashtirishda qatnashadigan nuqtalar to`plamini belgilab olish kerak. x o`zgaruvchi bo`yicha h qadam bilan

t o`zgaruvchi bo`yicha _{ } qadam bilan

_{ },

To`rlarni aniqlaymiz.

nuqtalar _{ }×_{ } to`rning tugin nuqtalarini tashkil qiladi.(1-shaklga qarang)

1-shakl. _{ }turi.

_{ }={0_{ }

_{ }={x=0,0_{ },

_{ }={x=1,0_{ },

_{ } to`rning chegaraviy nuqtalari deb aytiladi. 1-shaklda chegaraviy tugun nuqtalar chilliqchalar bilan ichki nuqtalar esa doirachalar bilan belgilangan. Vaqt kordinatalari bir-biriga teng bo`lgan _{ } to`rning tugun nuqtalari qatlam deb aytiladi. Masalan n-qatlam deb

(x₀,t_n),(x₁,t_n),…,(x_N,t_n)

tugun nuqtalar to`plamiga aytiladi.

_{ } turda aniqlangan y(x,t) funktsiya uchun

_{ }=y(x_i,t_n),_{ }=_{ },_{ }=_{ } (4)

belgilashlarni qabul qilamiz. Ayrim hollarda soddalik uchun I va n indekslarni tashlab

_{ }=_{ },_{ }=_{ }belgilarni ishlatamiz.

2-shakl. Ayirmali sxemalar shablonlari:

1. 
   oshkor sxema
   
2. 
   sof oshkormas sxema
   
3. 
   simmetrik sxema
   
4. 
   uch qatlamli sxema
   

tenglama (1) ni (_{ }nuqtada approksimatsiya qilish uchun to`rtta

(_{ }), (_{ }, (_{ } nuqtadan iborat 2-shaklda tasvirlangan shablonni qaraymiz. (_{ } nuqtada _{ } hosilani _{ } ayirmali ifoda bilan, _{ } ikkinchi tartibli hosilani _{ } ayirmali hosila bilan almashtiramiz.

_{ } o`ng tomonni taqribiy _{ } bilan almashtiramiz, _{ } sifatida quyidagi ifodalardan birini olish mumkin:­­­

natijada

_{ }=_{ }+_{ } (5)

ayirmali tenglamani hosil qilamiz. Agar _{ } (_{ },_{ } bo`yicha birinchi tartibli cheksiz kichik, h bo`yicha ikkinchi tartibli cheksiz kichik miqdorlar bo`lsa, approksimatsiya tartibi ham xuddi shunday bo`ladi, yani _{ } bo`yicha birinchi h bo`yicha ikkinchi tartibli kichik miqdor bo`ladi. Ayirmali sxema deyilganda asosiy diffirentsial tenglamani ichki nuqtalarda approksimatsiya qiladigan ayirmali tenglamalar oilasiga va chegara nuqtalarda esa chegaraviy shartlarni approksimatsiya qiladigan ayirmali tenglamalar oilasiga aytiladi. Hozirgi holda ayirmali sxema

_{ }=_{ }+_{ }…,N-1, <sub> 

 </sub> (6)

ko`rinishda bo`ladi.

Bu sxema noma`lumlar soni tenglamalar soniga teng bo`lgan chiziqli algebraik yenglamalar sistemsidan iborat.
Bu sistemani qatlamlar bo`yicha yechish lozim. Nol qatlamdagi yechim

boshlang`ich shart orqali boshqariladi.

Agar _{ }-qatlamda allaqachon aniqlangan bo`lsa, n+1 qatlamdagi_{ } ayirmali yechim

_{ } (7)

oshkor formula yordamida topiladi.

Qiymatlar chegaraviy shartlar orqali aniqlanadi. Shu sababli sxema(6) oshkor deb aytiladi. Sxema (6) xatoligi _{ } ayirma orqali aniqlanadi.

(6)-ga _{ } ni qo`yib xatolik uchun

_{ }=_{ }+_{ } (8)

_{   }

bunda _{ } ayirnali sxema (6) ning (1)-(3)-tenglama yechimdagi approksimatsiya xatoligi, _{ } Tenglama (8) ning yechimi _{ } ni _{ } orqali baxolab sxema (6) ni _{ } bo`yicha birinchi tartibli <sub> </sub>bo`yicha ikkinchi tartibli yaqinlashishini ko`rsatish mumkin. Buni biz keyinroq amalga oshiramiz.

Bu yerda biz sxema (6) ning misolida doimiy koeffitsientli tenglamalar uchun ayirmali sxemalarni tadqiq etishning keng tarqalgan metodi bo`lgan garmonkalar metodi yordamida yaqinlashish va turg`unlinking zaruriy shartlarini keltirib chiqaramiz. Sxema (6) ning _{ } shart bajarilganda qo`llash mumkinligini ko`rstamiz.
Buning uchun

_{ }=_{ } (9)

(5)-ga mos bir jinsli tenglamani qaraymiz.

Tenglama (9) ning xususiy yechimlarini

_{ } (10)

ko`rinishdagi xususiy yechimlarni qidiramiz.

Bu yerda i-mavhum birlik _{ }-ixtiyoriy haqiqiy, son, q aniqlanishi zarur bo`lgan doimiy son. (10)-ni (9) ga qo`yib va _{ } ga qisqartirib

_{ } (11)

tenglikni hosil qilamiz, bundan

hosil bo`ladi.

(10)-yechimlarga mos boshlang`ich shartlar <sub> </sub> chegaralangan.
Agar q moduli bo`yicha 1 dan katta bo`lsa, unda yechim (10) <sub> </sub> o`sadi.
Bu holda ayirmali sxema (9) turg`un emas deb aytiladi, chunki bu holda yechimning boshlang`ich shartlarga uzluksiz bog`liqlik sharti buziladi.
Agar <sub> </sub> bo`lsa, unda (10)-ko`rinishli yechimlar barcha haqiqiy <sub> </sub>-lar uchun, va ixtiyoriy n uchun chegaralangan bo`ladi hamda ayirmali sxema (9) turg`un deyiladi.

Masala (6) turg’unmas bo’lgan holda uning echimini formula (7) bo’yicha toppish mumkin bo’lmaydi, chunki hisoblashning boshida yo’l qo’yilgan xatolik (masalan, yaxlitlash xatoligi) chegarasiz o’sib boradi. Tenglama (9) uchun |q|_{ } tengsizlik _{ } bo’lgandagina va faqat shundagina barcha _{ }-lar uchun bajariladi. Shunday qilib sxema (6) dan _{ } bo’lganda foydalanish mumkin bo’ladi. Vaqt va fazoviy koordinatalar bo’yicha qadamlar nisbatiga qo’yiladigan shartlarda turg’un bo’lgan sxemalar shartli turg’un sxema deb aytiladi. Shuning uchun sxema (6) shartli turg’un bo’lib, turg’unlik sharti _{ }0,5 ko’rinishdadir. Shartli turg’un sxemalar parabolic tenglamalar uchun ham quyiladi, chunki ular vaqt bo’yicha qadamga katta shart qo’yadilar . Haqiqatdan ham , faraz qilamiz , masalan _{ } bo’lsin. Unda _{ } bo’lishi kerak . _{ } ni hisoblash uchun vaqt bo’yicha qadamlar soni _{ } bo’lishi kerak. Keyingi punktlarda , bu kamchilikdan xoli bo’lgan oshkormas metodlar haqida so’z boradi . Ular ixtiyoriy _{ } uchun turg’undirlar. Bunday sxemalar absolyut turg’un deb aytiladi