11-ma’ruza kasr-ratsional va ba’zi irratsional funksiyalarni integrallash reja

2. Eng sodda ratsional kasrlarni integrallash
Demak, integral ostidagi har qanday toʻg‘ri ratsional kasrni (11.4) va (11.5) formulalarni e’tiborga olib noma’lum koeffitsientli oddiy kasrlarga yoyiladi. Soʻng bu kasrlardagi noma’lum koeffitsientlar topiladi. Soʻngra bu sodda kasrlar integrallanar ekan.
Endi biz bu toʻrtta eng sodda kasrlarning integrallarini hisoblaymiz.

1. 
   .
   
2. 
   .
   
3. 
   integralda boʻlsa, suratida maxrajining hosilasini hosil qilib olamiz:
   

.
Oxirgi integralda boʻlgani uchun, jadvaldagi integralga keladi. Demak,
. (11.6)

4. 
   .
   

Bundа , (11.7)
oxirgi integralda esa almashtirish bajaramiz.
.
Birinchi integral berilgan integralning tartibi bittaga kamaygan holi, ikkinchi integralni boʻlaklab integrallash mumkin. Natijada, quyidagi rekkurent formulani hosil qilamiz:
. (11.7)
Eslatma. Agar maxrajda koʻphad boʻlsa, avval a qavsdan chiqariladi:
3-misol. Ushbu integralni hisoblang.
Yechish. Avval maxrajidan koʻpaytuvchini qavsdan chiqaramiz, suratida maxrajining hosilasini hosil qilib integrallaymiz.

.◄
4-misol. Ushbu integralni hisoblang.
Yechish.
.
Birinchi qoʻshiluvchi (11.6) formulaga koʻra,
.
Ikkinchi integral uchun (11.7) rekkurent formulani qoʻllasak,

.
Demak,
.
5-misol. Ushbu integralni hisoblang.
Yechish. Maxrajdagi koʻphadning bir karrali haqiqiy va ikki karrali ildizlari bor boʻlgani uchun
.
mumiy maxraj berib, suratdagi koʻphadlarni tenglaymiz.

yoki
.
Noma’lum koeffitsientlari usulidan foydalanamiz, ning darajalari oldidagi koeffitsintlarni tenglaymiz:

Bundan , .
Demak,
.