11-§. Predikat tushunchasi. Predikatlar ustida mantiqiy amallar. Umumiylik va mavjudlik kvantorlari Predikat tushunchasi

15.1-masala. To’lqin, Samar va Shohruh sport klubining a’zolari. Klubning har bir a’zosi chang’ichi yoki alpinist yoki har ikkisi. Yomg’irni yaxshi ko’radigan hech qanday alpinistlar yo’q, va barcha chang’ichilar qorni yaxshi ko’radilar. Shohruh To’lqin yoqtirgan narsani yoqtirmaydi va To’lqin yoqtirmaganini yaxshi ko’radi. To’lqin yomg’ir va qorni yoqtiradi.
Savol. Sport klubida alpinist bo’lgan lekin, chang’ichi bo’lmagan odam bormi?
Yechish.
S(x) = x-chang’ichi, M(x) = x-alpinist, L(x,y) = x, y ni yoqtiradi, bu yerda x∈{To’lqin, Samar, Shohruh}, y∈{yomg’ir, qor}
Ushbu gaplarni predikatlar mantiqi formulalari orqali ifodalaymiz:
1. ∀x(S(x) ∨ M(x))
2. ¬(∃x(M(x) ∧ L(x, yomg’ir))
3. ∀x(S(x)→L(x, qor))
4. ∀y(L(Shohruh, y)↔¬L(To’lqin, y))
5. L(To’lqin, yomg’ir)
6. L(To’lqin, qor)
7. Maqsad: ∃x(M(x) ∧ ¬S(x))
8. Maqsadning inkori: ¬(∃x(M(x) ∧ ¬S(x)))
Tasvirlangan gaplarni konyunktiv normal shaklga keltiramiz:
1. S(x1) ∨ M(x1)
2. ¬M(x2) ∨ ¬L(x2, yomg’ir)
3. ¬S(x3) ∨ L(x3, qor)
4. ¬L(Shohruh, y1) ∨ ¬L(To’lqin, y1)
5. L(Shohruh, y2) ∨ L(To’lqin, y2)
6. L(To’lqin, yomg’ir)
7. L(To’lqin, qor)
8. Maqsadning inkori: ¬M(x4) ∨ S(x4)

1-ifoda	2-ifoda	Qarshi	Almashtirish
8. ¬M(x4) ∨ S(x4)	1. S(x1) ∨ M(x1)	9. S(x1)	{x4/ x1}
9. S(x1)	3. ¬S(x3) ∨ L(x3,qor)	10. L(x1, qor)	{x3/ x1}
10. L(x1, qor)	4. ¬L(Shohruh, y1) ∨ ¬L(To’lqin, y1)	11. ¬L(To’lqin, qor)	{y1/ qor, x1/Shohruh}
11. ¬L(To’lqin, qor)	7. L(To’lqin, qor)	12. Yolg’on	{}

Shunday qilib, to’g’ri qoidalarni qoidalar bazasiga qo’shilishi, maqsadni inkor etish ziddiyatiga olib keladi: klub a’zolari haqidagi maqsadning inkori yolg’on, shuning uchun klubda bunday odam bor.

Biz izlayotgan odamni topish uchun, bizda shunday bir kishi klubda bo’lganligini yoki u mavjud emasligini anglatadigan tegishli formulani kiritishimiz kerak: (M (x5) ∨ S (x5)) ∨ (M (x5) ∧ ¬ S (x5))