10–Маъруза. Сплайн якинлаштириш. Сплайн интерполяциялаш

2. Кубик сплайн билан интерполяцилаш жараёнининг якинлашиши.
Бу ерда кубик интерполяцион сплайнларнинг тугун нукталар сони N чексизга интилганда интерполяцияланувчи функцияга интилишини курсатамиз.
Интерполяцион сплайн билан орасидаги фарк функция силликлик тартибига ва тугун нукталарнинг жойлашишига боглик. Соддалик учун нукталари текис жойлашган турлар кетма-кетлигини караймиз:

бу ерда

Бу холда (9)- система куриниши куйидагича булади
₍₁₁₎
бунда

f(x) функциядан [a,b] ораликда туртинчи тартибли узлуксиз хосилага эга булсин деб талаб киламиз:
(x)С⁽⁴⁾
Бундан ташкари

чегаравий шартлари бажарилсин, худди шундай шартлар сплайн учун хам бажарилсин деб шарт куямиз.

деб белгилаймиз.
Фараз киламиз (x) , f(x) функцияни [a,b] ораликда турда интерполяциялайдиган сплайн булсин. Куйидаги теоремада (x) функция ва унинг '(x) ва ''(x) хосилаларининг интерполяция хатолари бахоси келтирилган.
1-теорема. Агар
(x) С⁽⁴⁾[a,b]
булса,

бахолар уринли булади.

Бу тенгсизликлардан , ларнинг -ларга i=0,1,2 интилиши келиб чикади.
Бу теоремани исбот килиш учун хатоликни бахоловчи леммани келтирамиз.

деб белгилаймиз.
1-лемма. yчун
(15)
Исбот. булганлиги учун, бу ерда c_i (11)- системанинг ечими, z_i = c_i - f''(x_i) хатоликнинг бахосини топиш кифоя. c_i= z_i – f^’’_i ни (11)-га куйиб

тенгламаларни хосил киламиз, бу ерда

(16)- система ечимини - унг томонлар оркали бахолаймиз. Бунинг учун (16)- тенгламани 4z_i = -z_i-1 – z_i+1 + куринишида ёзамиз. Бундан

келиб чикади.
Бу тенгсизлик барча i -лар учун уринли буланиги учун , у |z_i| максимумга эришадиган i=i₀ учун хам, яъни учун хам уринли булади.
Шунинг учун

яъни
(18)
бажарилади.
Бундан (15)- бахони хосил килиш учун бахолаш лозим. Бунда -лар (17)- тенглик ёрдамида аникланган. -ни
(19)
куринишда ёзамиз ва Тейлор формулаларидан фойдаланамиз.

муносабат уринли булади.
Худди шундай усул билан

тенгликни хосил килиш мумкин.
(19)- дан

келиб чикади. Бундан i=1,2,...,N-1

бунда келиб чикади.
(18)- дан

эканлиги маълум булади.1- лемма исбот булди.
Энди 1-теоремани исбот килишга утамиз. Энг аввал (14)- бахони курсатамиз. [х_i-1,x_i] i=1,2,...,N кесмани караймиз. Бу кесмада га шундай биринчи даражали P₁(x) купхадни кушиб айирамизки, биринчи даражали купхад f''(x) ни x_i-1 ва x_i нукталарда интерполяцияласин.
Унда куйидагига эга буламиз:
(20)
´нг томондаги хадларни алохида – алохида бахолаймиз. S''_h(x) –P₁(x) биринчи даражали купхад f''(x) ни интерполяцияловчи эканлиги учун, интерполяция хатолигини бахолаш формуласидан :

₍₂₁₎



куринишда булади.
Шунинг учун

бундан леммага асосан
(22)
бахо хосил булади.
(20)- дан (21)- ва (22)- ларга асосан ихтиерий x [x_i-1,x_i] учун
(23)
хосил булади. i=1,2,...,N ихтиерий булгани учун (14)- бахо уринли эканлиги келиб чикади.
Энди (13)- бахони уринли эканлигини курсатамиз. [x_i-1,x_i] кесмада r(x)=f(x)–S_h(x) функцияни караймиз. r(x_i-1)=r(x_i)= 0 булгани учун шундай нукта топиладики r'( ) = 0.
Шу сабабли

булади. Шундай килиб

булади.
Агар (14)- ни инобатга олсак

бундан (13)- келиб чикади.
(12)- бахони исбот килиш керак.
(24)
К доимий сон, x [x_i-1,x_i] , K ни g(x) = 0 шартдан аниклаймиз, яъни

g(x)=g(x_i-1)=g(x_i)=0 га эгамиз. Шунинг учун топиладики

булгани учун

яъни

булади.
Бундан ва (14)- дан

бахо хосил булади.
Бундан (12)- бахо келиб чикади.


Таянч иборалар:

Сплайн.
Интерполяцион сплайн.

Кубик сплайн.
Якинлашиш.


Текшириш учун саволлар:

Сплайн нима?

Кубик сплайн нима?
Интерполяцион сплайн нима?
Сплайн куришни биласизми?
Интерполяцион сплайн якинлашадими?
Интерполяцион кубик сплайн якинлашиш тартиби нимага тенг?


Адабиётлар :

А.А. Самарский , А.В. Гулин , “Численные методы” . Ўк. Кўлланма, М . , Наука , 1989.

М.И.Исроилов, “Хисоблаш методлари”, Тошкент, Ўкитувчи, 1988 г