100 лет со дня рождения

часть, то оставшиеся части отделимы посредством 
A
2
-множеств;

---

106
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ
3) существуют два непересекающихся 
A
2
-множества, неотдели-
мые посредством 
B
2
-множеств.
Заметим, что 
A
2
-множествами называются проекции 
СА 
-мно-
жеств, дополнения к 
A
2
-множествам называются 
CA
2
-множества-
ми, а 
B
2
-множества суть те множества, которые одновременно яв-
ляются 
A
2
-множествами и 
CA
2
-множествами.
Таким образом, законы отделимости во втором классе проек-
тивных множеств оказались инвертированными по сравнению с 
законами отделимости в первом классе проективных множеств. 
Это обстоятельство явилось большой неожиданностью.
Долгое время не поддавался решению вопрос об эффективной 
униформизации плоского 
СА
-множества. Основная трудность тут 
заключалась в том, что не был известен процесс указания точки в 
непустом 
СА
-множестве, заданном посредством решета или 
A
-опе-
рации. Такой процесс был найден Петром Сергеевичем в 1935 г. 
Этот результат произвёл очень большое впечатление на математи-
ков, интересующихся дескриптивной теорией множеств. Таким об-
разом, была найдена процедура построения униформизирующего 
множества для любого плоского множества. Впоследствии япон-
ский математик Кондо установил, что это униформизирующее 
множество само является 
СА 
-множеством.
Давно было известно, что проекция 
B
-множества может не 
быть 
В-
множеством, но всегда есть 
A
-множество. С другой сторо-
ны, проекция униформного 
B
-множества всегда есть 
B
-множество. 
В связи с этим Петра Сергеевича заинтересовал вопрос о том, при 
каких условиях на прообразы точек проекция 
B
-множества остает-
ся 
B
-множеством. Он установил, что это верно, если прообразы 
точек компактны или не более чем счётны. Дальнейшие обобще-
ния этих результатов содержатся в работах японского математика 
Кунугуи и ученика Петра Сергеевича В.Я. Арсенина, доказавшего, 
что это верно в случае, когда прообразы точек абсолютные 
F
σ
. 
Для 
абсолютных 
G
δ
это уже не имеет места. К тому же кругу идей отно-
сится следующий результат Петра Сергеевича: если плоское 
B
-мно-
жество таково, что при его проектировании на одну из осей прооб-
разы точек не более чем счётны, то это множество можно предста-
вить как объединение не более чем счётного набора униформных 
B
-множеств.
В поисках новых подходов к уточнению понятия эффектив-
ности в теории множеств Пётр Сергеевич в 1939 г. ввёл понятие 
эф фективно-несчётного множества в бэровском пространстве. 
Мно жество точек бэровского пространства называется эффектив-
но-несчётным, если каждой последовательности точек этого мно-

---

107
Пётр Сергеевич Новиков
жества можно поставить в соответствие точку из того же множест-
ва, но не принадлежащую данной последовательности, так чтобы 
лю бой начальный отрезок арифметического разложения этой точ-
ки эффективно определялся конечным числом начальных отрезков 
арифметических разложений точек рассматриваемой последователь-
ности. Пётр Сергеевич доказал, что всякое эффективно-несчётное 
множество содержит совершенное подмножество и поэтому имеет 
мощность континуума. Дальнейшие исследования в этом направ-
лении проводили его ученики А.А. Ляпунов и Я.Л. Крейнин.
Среди работ Петра Сергеевича несколько особняком стоит его 
работа об обратной задаче потенциала, опубликованная в 1938 г. 
Речь идет о задаче определения формы притягивающего тела по 
заданным значениям его внешнего потенциала при условии, что 
плотность распределения масс известна. Один из основных вопро-
сов, возникающих при исследовании этой задачи,
–
вопрос о един-
ственности её решения. Пётр Сергеевич доказал, что два тела оди-
наковой постоянной плотности, звёздные относительно общей 
внутренней точки и имеющие одинаковый внешний потенциал, 
совпадают. Различные обобщения этого результата позже были по-
лучены в работах других авторов, в том числе учеников Петра Сер-
геевича Ю.А. Шашкина и В.П. Симонова.
Решив ряд важных и трудных проблем дескриптивной теории 
множеств, Пётр Сергеевич вплотную подошел к границам приме-
нимости теоретико-множественных методов. Наряду с континуум-
проблемой к этому времени обозначились другие проблемы де-
скриптивной теории множеств, относительно которых Н.Н. Лузин 
высказывал гипотезу об их неразрешимости средствами теории 
мно жеств. К таким проблемам относились проблема мощности 
СА
-множеств и проблема измеримости проективных множеств. 
Это обстоятельство побудило Петра Сергеевича заняться вопроса-
ми обоснования математики и математической логикой.
После того как К. Гёдель установил непротиворечивость в ак-
сиоматической теории множеств континуум-гипотезы, Пётр Сер-
геевич доказал непротиворечивость следующих утверждений де-
скриптивной теории множеств:
1) существует