10-mavzu. Diffеrеnsiаl tеnglаmаlar nazariyasi

Quyidagi hollar bo’lishi mumkin


I - hol. Agar (12) xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va turli bo’lsa, ularni ketma-ket (11) sistemaga qo’yib, ularga mos qiymatlar topiladi va ularni izlanayotgan yechim ko’rinishiga qo’yib, sistemaning n ta xususiy yechimlari hosil qilinadi.
(13)
bu yerda quyi indeks noma’lum funksiya nomeri, yuqori indeks yechim nomerini anglatadi.
Odatda bu yechimlarga sistemaning fundamental yechimlar sistemasi deyiladi.
Bu yechimlarni matrisaviy ko’rinishda
,
bu yerda

Masalan, differensial tenglamalar sistemasini yechaylik.
Berilgan sistemaga mos xarakteristik tenglama quyidagicha bo’ladi

yoki
.
Bu tenglama ildizlari Ularga mos yechimlar esa

yechimlarni berilgan sistemaga qo’yib
yoki
Demak,
yechimlarni berilgan sistemaga qo’yib
ekanligini hosil qilamiz.
Demak,
Sistema chiziqli bo’lgani uchun sistemaning umumiy yechim

ko’rinishda bo’ladi.
II - hol. Agar xarakteristik tenglama karrali ildizga ega bolsa, u holda sistema yechimlari quyidagi ko’rinishda izlanadi
(14)
bu yerda

Masalan, differensial tenglamalar sistemasini yechamiz
Sistemaning xarakteristik tenglamasi

yoki
.
Bu tenglama ildizlari
Demak, yechimni

ko’rinishida izlaymiz.
Yechimlarni berilgan sistemaga qo’yib

bundan esa

Bu yerda ixtiyoriy o’zgarmas sonlar bo’lgani uchun ularni mos ravishda orqali belgilab, quyidagi umumiy yechimga ega bo’lamiz

III-hol. Agar xarakteristik tenglama ildizga ega bo’lsa, u holda unga mos

yechimni ikkita haqiqiy yechimga: shu ildizga mos kompleks funksiyaning haqiqiy va mavhum qismidagi funksiyalariga almashtirish mumkin.
Masalan, sistemani yechaylik.
Sistemaga mos xarakteristik tenglama yoki .
Bu tenglama ildizlari
Demak, yechimni

ko’rinishida izlaymiz.
Bularni sistemaga qo’yib

Bu tenglamani, masalan, yechimlar qanoatlantiradi.
Demak,

Bu yechimlarning haqiqiy va mavhum qismlari berilgan sistemaning yechimlari bo’ladi, ularning chiziqli kom, inatsiyalari esa umumiy yechim bo’ladi: