10-Ma’ruza: Ko’p o’lchovli taqsimotlar. Tasodifiy miqdorlardan olingan funksiyalarning taqsimotlari

1-misol. Ichida 2 ta oq, 1 ta qora, 1 ta ko‘k shar bo‘lgan idishdan tavakkaliga ikkita shar olinadi. Olingan sharlar ichida qora sharlar soni X t.m. va ko‘k rangdagi sharlar soni Y t.m. bo‘lsin. (X,Y) ikki o‘lchovli t.m.ning birgalikdagi taqsimot qonunini tuzing. X va Y t.m.larning alohida taqsimot qonunlarini toping.
X t.m. qabul qilishi mumkin qiymatlari: 0 va 1: Y t.m.ning qiymatlari ham 0 va 1. Mos ehtimolliklarni hisoblaymiz: (yoki );
; ; .
(X,Y) vaktorning taqsimot jadvali quyidagicha ko‘rinishga ega:

Y X	0	1
0
1

Bu yerdan , ; , kelib chiqadi. X va Y t.m.larning alohida taqsimot qonunlari quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

va .

Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi va uning xossalari

Ikki o‘lchovli t.m. taqsimot funksiyasini F(x,y) orqali belgilaymiz.

• 
  Ikki o‘lcholi (X,Y) t.m.ning taqsimot funksiyasi, x va y sonlarning har bir jufti uchun va hodisalarning birgalikdagi ehtimolligini aniqlaydigan F(x,y) funksiyasidir: ya’ni
  

. (4)

(4) tenglikning geometrik tasviri 21-rasmda keltirilgan.

21-rasm.

(X,Y) ikki o‘lchovlik diskret t.m. taqsimot funksiyasi quyidagi yig‘indi orqali aniqlanadi:

. (5)

Ikki o‘lchovlik t.m. taqsimot funksiyasining xossalari:

1. taqsimot funksiya chegaralangan: .
2. funksiya har qaysi argumenti bo‘yicha kamayuvchi emas:
agar bo‘lsa, ,
agar bo‘lsa, .
3. funksiyaning biror argumenti bo‘lsa(limit ma’nosida), u holda funksiya nolga teng, .
4. Agar funksiyaning bitta argumenti bo‘lsa(limit ma’nosida), u holda


; . (6)

4^'. Agar ikkala argumenti bo‘lsa(limit ma’nosida), u holda .

5. funksiya har qaysi argumenti bo‘yicha chapdan uzluksiz, ya’ni , .
Isboti. 1. ehtimollik bo‘lgaligi uchun .
2. argumentlarning birortasini kattalashtirsak, 21-rasmda bo‘yalgan D soha kattalashadi, demak bu sohaga (X,Y) tasodifiy nuqtaning tushishi ehtimolligi kamaymaydi.
3. hodisalar va ularning ko‘paytmasi mumkin bo‘lmagan hodisalardir. Demak, bu hodisalarning ehtimolligi nolga teng.
4. muqarrar hodisa bo‘lgani uchun bo‘ladi. Demak, . Xuddi shunday .
4^'. va hodisalar muqarrar hodisalar bo‘lganligi uchun ham muqarrar hodisa bo‘ladi va bu hodisaning ehtimolligi 1 ga teng. ■
taqsimot funksiya yordamida (X,Y) t.m. biror sohaga tushishi ehtimolligini topish mumkin:


(7)

22-rasmda (7) tenglikning geometrik isboti keltirilgan.

22-rasm.