10. Лимит функция

1-таъриф. Агар да функция лимит функция га тўпламда текис яқинлашса,

интеграл тўпламда текис яқинлашувчи дейилади.
Интегралнинг тўпламда текис яқинлашувчилигини қуйи­­да­гича англаш лозим:
1) ҳар бир тайин да хосмас интеграл яқин­­лашувчи;
2) олинганда ҳам, шундай топиладики, ва учун

тенгсизлиги бажарилади.
1-мисол. Ушбу

хосмас интегралнинг да текис яқинлашувчи экани кўр­са­тил­син.
◄ Ҳар бир тайин да қаралаётган хосмас ин­тег­ралнинг яқинла­шув­чи эканлиги равшан.
га кўра дейилса, унда ва учун

бўлади. Демак, берилган интеграл да текис яқин­ла­шувчи.►
2-таъриф. Агар да функция лимит функция га тўпламда текис яқинлашмаса,

интеграл тўпламда текис яқинлашмайди дейилади.
Интегралнинг тўпламда яқинлашувчи, аммо унинг шу тўп­лам­да текис яқин­ла­шмайди дегани қуйидагини англатади:
1) ҳар бир тайин да хосмас интеграл яқин­­ла­шувчи;
2) олинганда ҳам, шундай ва бўл­ган топиладики,

бўлади.
2-мисол. Ушбу

хосмас интегралнинг да текис яқинлашмаслиги кўр­сатил­син.
◄Равшанки,
.
Демак, берилган хосмас интеграл яқинлашувчи. Айтай-лик, бўлсин. Ихтиёрий мусбат сонни олай­лик. Агар ва деб олсак, у ҳолда

бўлади. Бу эса интеграл да текис яқин­лашмаслигини билдиради.►
Юқоридаги

параметрга боғлиқ хосмас интегралнинг параметр бўйича тўпламда текис яқин­лашишини қуйидагича ҳам таърифласа бўлади.
3-таъриф. Агар

бўлса,

хосмас интеграл тўпламда текис яқинлашувчи дейилади.
3-мисол. Ушбу

хосмас интегралниниг тўпламда текис яқинлашувчи экани кўр­са­тил­син.
◄ Равшанки, учун

бўлиб,

бўлади. Демак, берилган хосмас интеграл тўпламда текис яқин­ла­шув­чи.►
Энди интегралнинг текис яқинлашишини ифодаловчи тео­ре­­мани келтира­миз.
1-теорема. Ушбу

интегралнинг тўпламда текис яқинлашувчи бўлиши учун олинганда ҳам га боғлиқ бўлмаган шундай то­пи­либ, тенгсизликларни қаноатлантирувчи ва да

тенгсизликнинг бажарилиши зарур ва етарли.
Бу теореманинг исботи равшан.