10. Darajali qatorning tekis yaqinlashishi

4-teorema. Aytaylik,

darajali qatorning yaqinlashish radiusi , yiђindisi bо‘lsin:

. (4)

U holda da

bо‘ladi.
◄(4) munosabatda deb topamiz:

.

(4) qatorni hadlab differensiallaymiz:

.

Bu tenglikda deyilsa

bо‘lishi kelib chiqadi. Shu jarayonni davom ettiraborib

bо‘lishini topamiz. ►

1-misol. Ushbu

darajali qator yiђindisi topilsin.

◄Ma’lumki,

darajali qator da yaqinlashuvchi va uning yiђindisi ga teng:

.

Bu qatorni hadlab differensiallab topamiz:

,

.

Keyingi tenglikning har ikki tomonini ga kо‘paytirsak, unda

bо‘lishi kelib chiqadi. ►

2-misol. Ushbu

tenglikning tо‘ђriligi isbotlansin.

◄Ravshanki,

darajali qator da yaqinlashuvchi bо‘lib, uning yiђindisi ga teng:

.

Bu tenglikda ni ga almashtirsak, natijada

tenglik hosil bо‘ladi. Uni bо‘yicha integrallab topamiz:

,



.

3-misol. Ushbu

darajali qator yiђindisi topilsin va undan foydalanib

bо‘lishi kо‘rsatilsin.

◄Ma’lumki,

.

Bu tenglikda ni ga almashtiramiz. Natijada hosil bо‘ladi. Uni bо‘yicha integrallab topamiz:

,

,

.

Keyingi tenglikda deylik. Unda tenglikning chap tomoni

sonli qatorga aylanib, u Leybnits teoremasiga kо‘ra, yaqin-lashuvchi bо‘ladi. Demak,

. ►
Mashqlar
1. Hadlab differensiallash bilan ushbu

darajali qatorning yiђindisi topilsin.

2. Hadlab integrallash bilan ushbu

darajali qatorning yiђindisi topilsin.