10-amaliy mashg‘ulot

10-amaliy mashg‘ulot.
Mavzu: Gruppa. Mavzuga oid misollar yechish.
Kommutativ gruppa. Gruppa tartibi. Multiplikativ, additiv gruppalar. Gruppaning sodda xossalari. Gruppalar gomomorfizmi.
Aytaylik bizga, to’plam va binar * algebraik amal berilgan bo`lsin.
1-ta’rif. Bo`sh bo`lmagan to’plamda * algebraik amal assotsiativ bo`lsa, algebra yarimg ruppa deyiladi.
2-ta’rif. Bo`sh bo`lmagan to’plamda quyidagi xossalar o`rinli bo`lsa, algebra gruppa deyiladi.
Masalan:
a) to’plamning ixtiyoriy elementlari uchun munosabat o`rinli bo`lsa, ya’ni binar * algebraik amal assotsiativ bo`lsa;
b) to’plamning ixtiyoriy elementi uchun shunday element mavjud bo`lib, u shartni qanoatlantirsa, ya’ni to’plamda neytral element mavjud bo`lsa;
d) to’plamning ixtiyoriy elementi uchun shunday element mavjud bo`lib, u quyidagi shartni qanoatlantirsa, ya’ni to’plamning har bir elementiga simmetrik element mavjud bo`lsa.
Ta’rifdan ko`rinadiki, algebra gruppa bo`lishi uchun * algebraik amal bo`lib, u assotsiativ bo`lishi hamda to’plamda e neytral, simmetrik elementlar mavjud bo`lishi kerak ekan.
3-ta’rif. Agar to’plamda berilgan * algebraik amal kommutativ bo`lsa, ya’ni ixtiyoriy uchun o`rinli bo`lsa, gruppa * binar algebraik amalga nisbatan kommutativ gruppa deyiladi. Kommutativ gruppa ba’zi hollarda Abel gruppa deb ham ataladi.
Binar «*» algebraik amalni «+» qo`shish amali bilan almashtiraylik. to’plamda + amali gruppa hosil qilishi uchun u quyidagi xossalarga bo`ysunishi kerak:
1<sup>0</sup>. uchun bajarilishi, ya’ni qo`shish amali assotsiativ bo`lishi;
2<sup>0</sup>. uchun shunday element bo`lsinki, bo`lsin, ya’ni neytral element mavjud bo`lishi;
3⁰. to’plamning ixtiyoriy elementi uchun shartni qanoatlantiruvchi simmetrik ( ) element mavjud bo`lishi kerak.
Ma’lumki, qo`shish amali kommutativdir, shuning uchun algebra kommutativ, ya’ni Abel gruppasidir.
1-misol. Haqiqiy sonlar to’plami qo`shish amaliga nisbatan kommutativ gruppa
tashkil qiladi.
Haqiqatan ham, uchun
a) assotsiativlik xossasi o`rinli;
b) uchun mavjudki, ;
d) uchun topiladiki, .
Qo`shish amali haqiqiy sonlar to’plamida kommutativ, assotsiativ bo`lganidan va da neytral va simmetrik element mavjudligidan kommutativ gruppa bo`lishi kelib chiqadi.
Agar «*» algebraik amal sifatida «+» qo`shish amali olinib, algebra qo`shish amaliga nisbatan gruppa bo`lsa, bunday gruppalar additiv gruppalar deyiladi.
Agar «*» algebraik amal sifatida «·» qo`shish amali olinib, algebra ko`paytirish amaliga nisbatan gruppa bo`lsa, bunday gruppalar multi’likativ gruppalar deyiladi.
To’plamning ixtiyoriy elementiga shu to’plamning faqat bitta qarama-qarshi yoki teskari elementini mos qo`yuvchi, har bir elementga bitta neytral elementni mos qo`yuvchi amal unar algebraik amaldir.
Bo`sh bo`lmagan to’plamda ikkita binar algebraik, bitta unar algebraik amal berilgan bo`lsin. Aniqlik uchun binar algebraik amallar uchun «qo`shish» va «ko`paytirish» amallarini, unar algebraik amal sifatida esa simmetrik (qarama-qarshi, teskari) elementning mavjudligini qabul qilaylik.
Misol: Haqiqiy sonlar to‘plami qo‘shish amaliga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qiladi.
Haqiqatan ham, uchun
a) assotsiativlik xossasi o‘rinli
b) uchun topiladiki
v) uchun mavjudki
Qo‘shish amali haqiqiy sonlar to‘plamida kommutativ, assotsiativ bo‘lganidan va da neytral va simmetrik element mavjudligidan kommutativ gruppadir.
Agar algebra gruppa bo‘lib to‘plamning ixtiyoriy qism to‘plami berilgan amallarga nisbatan gruppa tashkil qilsa qism to‘plamga gruppaning qism gruppasi deyiladi.
Agar «*» algebraik amal sifatida «+» qo‘shish amali olinib gruppa qo‘shish amaliga nisbatan kommutativ gruppa bo‘lsa, bunday gruppalar additiv
gruppalar deyiladi.
Misollar.
1. Z to‘plamnan shunday *,0 algebraik amallarni topingki unda * amali kommutativ, assotsiativ bo‘lgani holda 0 nisbatan distributiv bo‘lmasin.
1. R tuplamga shunday algebrayik amal kiritingki o‘ngdan ham, chapdan ham qisqartirish qonuni o‘rinli bo‘lsin.
1. N to’plam qaysi amalga nisbatan gruppa bo‘ladi?

6. Z to’plam qaysi amalga nisbatan gruppa bo‘ladi?
7. Q to’plam qaysi amalga nisbatan gruppa bo‘ladi?
8. R to’plam qaysi amalga nisbatan gruppa bo‘ladi?