1. Yuqori tartibli differensial tenglamalar

Kirish

1. Yuqori tartibli differensial tenglamalar

1.1. n-tartibli chiziqli differensial tenglama haqida tushuncha

2. Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida integrallash

2.1. Differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida integrallash.

2.2. Umumlashtirilgan darajali qatorlar yordamida differentsial tenglamalarni integrallash.

3. Differensial tenglamalarni integrallashda umumlashtirilgan darajali qatorlardan foydalanishning alohida holatlari.

3.1. Bessel tenglamasi.

3.2. Gipergeometrik tenglama yoki Gauss tenglamasi.

4. Oddiy differensial tenglamalarni qatorlar yordamida integrallash usulini amaliyotda qo‘llash.

Xulosa

Adabiyot

Kirish

Umumiy holatda birinchi tartibli oddiy differensial tenglamani integrallash orqali aniq yechimini topish mumkin emas. Bundan tashqari, bu oddiy differensial tenglamalar tizimi uchun amaliy emas. Bu holat oddiy differensial tenglamalar va ularning sistemalarini yechishning ko'p sonli taxminiy usullarini yaratishga olib keldi. Taxminiy usullar orasida uchta guruhni ajratish mumkin: analitik, grafik va raqamli. Albatta, bunday tasnif ma'lum darajada o'zboshimchalikdir. Masalan, differensial tenglamani sonli yechish usullaridan biri negizida Eyler siniq chiziqlarining grafik usuli yotadi.

Oddiy differensial tenglamalarni quvvat qatorlari yordamida integratsiyalash, qoida tariqasida, kamida ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalarga qo'llaniladigan taxminiy analitik usuldir.

Differensial tenglamalar kursida analitik usullar mavjud. Birinchi tartibli tenglamalar uchun (ajraladigan o'zgaruvchilar, bir hil, chiziqli va boshqalar), shuningdek, yuqori tartibli tenglamalarning ba'zi turlari uchun (masalan, doimiy koeffitsientli chiziqli) ko'rinishdagi echimlarni olish mumkin. formulalarni analitik o'zgartirishlar orqali.

Ishning maqsadi oddiy differensial tenglamalarni qatorlar yordamida integrallash va ularni differentsial tenglamalarni yechishda qo‘llash kabi taxminiy analitik usullardan birini tahlil qilishdan iborat.

Yuqori tartibli differensial tenglamalar

n-tartibli oddiy differensial tenglama ko'rinishdagi munosabatdir

bu erda F - ma'lum bir sohada berilgan argumentlarining ma'lum funktsiyasi;

x - mustaqil o'zgaruvchi;

y - aniqlanadigan x o'zgaruvchining funktsiyasi;

y ’, y”,…, y (n) y funksiyaning hosilalari.

Bunday holda, y (n) haqiqatan ham differentsial tenglamaga kiritilgan deb taxmin qilinadi. F funksiyaning boshqa argumentlaridan birortasi bu munosabatda aniq ishtirok eta olmaydi.

Berilgan differensial tenglamani qanoatlantiradigan har qanday funksiya uning yechimi yoki integrali deyiladi. Differensial tenglamani yechish uning barcha yechimlarini topishni bildiradi. Agar kerakli funktsiya y uchun berilgan differensial tenglamaning barcha yechimlarini va faqat ularni beradigan formulani olish mumkin bo'lsa, uning umumiy yechimini yoki umumiy integralini topdik deymiz.

n-tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi n ta ixtiyoriy s 1, s 2, ..., c n konstantadan iborat bo‘lib, ko‘rinishga ega.

1.1. Chiziqli differensial tenglama tushunchasin-chi tartib

Agar y, y ',…, y (n) qiymatlari yig'indisiga nisbatan birinchi darajali bo'lsa, n-darajali differentsial tenglama chiziqli deb ataladi. Shunday qilib, n-darajali chiziqli differensial tenglama quyidagi ko'rinishga ega:

Bu erda x ning ma'lum uzluksiz funktsiyalari.

Bu tenglama bir jinsli bo'lmagan chiziqli tenglama yoki o'ng tomoni bo'lgan tenglama deyiladi. Agar tenglamaning o'ng tomoni bir xil nolga teng bo'lsa, chiziqli tenglama bir jinsli chiziqli differensial tenglama deb ataladi va quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi.

Agar n 2 ga teng bo'lsa, biz ikkinchi tartibli chiziqli tenglamani olamiz, u shunday yoziladi n-tartibli chiziqli tenglama, ikkinchi tartibli tenglama bir hil () va bir jinsli bo'lishi mumkin.

Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida integrallash.
Oʻzgaruvchan koeffitsientli birinchi tartibdan yuqori boʻlgan oddiy differensial tenglamaning yechimlari har doim ham elementar funksiyalar koʻrinishida ifodalanavermaydi va bunday tenglamaning integrasiyasi kamdan-kam hollarda kvadratlarga keltiriladi.

2.1. Differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida integrallash.

Ushbu tenglamalarni integrallashning eng keng tarqalgan usuli kerakli yechimni kuch qatori shaklida ifodalashdir. O'zgaruvchan koeffitsientli ikkinchi tartibli tenglamalarni ko'rib chiqing

Izoh 1. Funktsiyalarning etarlicha keng sinfi sifatida ifodalanishi mumkin

qayerda, ba'zi konstantalar. Bu ifoda kuch qatori deyiladi. Agar uning qiymatlari har qanday x oraliqdagi funktsiyaning mos qiymatlariga teng bo'lsa (x 0 - T; x 0 + T), unda bunday qator bu oraliqda yaqinlashish deb ataladi.

Faraz qilaylik, a (x), b (x) funksiyalar (2.1) tenglamaning (x 0 - T; x 0 + T), T> 0 oraliqdagi analitik funksiyalari, ya'ni. quvvat qatorlariga ajrating:

Quyidagi teorema o'rinli (isbotni qoldirmasdan, biz faqat uning formulasini keltiramiz).

Teorema_1. Agar a (x), b (x) funksiyalar (2.2) ko'rinishga ega bo'lsa, u holda oddiy differensial tenglamaning (2.1) istalgan y (x) yechimini |x - x 0 | uchun yaqinlashuvchi sifatida tasvirlash mumkin.< Т степенного ряда:

Bu teorema yechimni darajalar qatori shaklida ifodalash imkonini beribgina qolmay, eng muhimi (2.3) qatorlarning yaqinlashuvini asoslaydi.

Bunday taqdimotning algoritmi quyidagicha. Qulaylik uchun (2.2) va (2.3) ga x 0 = 0 ni qo'yamiz va oddiy differensial tenglamaning (2.1) yechimini ko'rinishda qidiramiz.

(2.4) ni (2.1) ga almashtirib, tenglikka erishamiz

(2.5) ni bajarish uchun x ning har bir darajasidagi koeffitsient nolga teng bo'lishi kerak. Bu shartdan chiziqli algebraik tenglamalarning cheksiz sistemasini olamiz

………………………………………….

…………………………………………………………………. .

Olingan cheksiz chiziqli algebraik tenglamalar tizimidan ketma-ket, ... topish mumkin, agar qiymatlar va o'rnatilgan bo'lsa (oddiy differensial tenglama (2.1) uchun Koshi masalasida), boshlang'ich shartlarni kiritish mumkin =, =).

Agar a (x), b (x) funktsiyalari ratsional bo'lsa, ya'ni. , b, bu yerda ko‘phadlar, u holda nuqtalar yaqinida yoki, darajali qator ko‘rinishidagi yechim mavjud bo‘lmasligi mumkin, agar mavjud bo‘lsa, x = 0 nuqtadan tashqari hamma joyda ajralishi mumkin. Bu holat birinchi tartibli tenglamani ko'rib chiqqan L. Eylerga allaqachon ma'lum edi

Bu tenglama kuch qatori bilan qanoatlantiriladi

Biroq, bu ketma-ketlik har kim uchun farq qilishini ko'rish qiyin emas. Oddiy differentsial tenglamaning divergent darajali qator ko'rinishidagi yechimi formal deyiladi.

Ushbu integratsiya usulini qo'llashning eng yorqin va tushunarli misollaridan biri bu Airy tenglamasi yoki

Bu tenglamaning barcha yechimlari x ning butun funksiyalaridir. Keyin Airy tenglamasining yechimi darajalar qatori (2.4) shaklida izlanadi. Keyin tenglik (2.5) shaklni oladi

X ning har bir darajasidagi koeffitsientni nolga tenglashtiramiz. Bizda ... bor

……………………………

X ning nol darajasidagi koeffitsient 2y 2 ga teng. Demak, y 2 = 0. Keyin koeffitsientning nolga tengligidan = topamiz. Koeffitsient teng. Bu yerdan.

Ushbu formuladan biz olamiz

Koeffitsientlar va aniqlanmagan. Yechimlarning asosiy tizimini topish uchun avval = 1, = 0 ni o'rnatamiz, keyin esa aksincha. Birinchi holda, bizda bor

va ikkinchisida

Teorema_1 asosida bu qatorlar hamma joyda haqiqiy chiziqqa yaqinlashadi.

Funktsiyalar va Airy funktsiyalari deb ataladi. X ning katta qiymatlari uchun ushbu funktsiyalarning asimptotik harakati quyidagi formulalar bilan tavsiflanadi va.

Ushbu funktsiyalarning grafiklari rasmda ko'rsatilgan. 2.1. Biz aniqlaymizki, x ning cheksiz ortishi bilan, Airy tenglamasining har qanday yechimining nollari cheksiz yaqinlashadi, bu ushbu echimlarning asimptotik tasviridan ham ko'rinadi, ammo bu Airy funksiyalarining 2009-2010-yillarda ifodalanishidan umuman ko'rinmaydi. yaqinlashuvchi darajali qatorlar shakli. Demak, bundan kelib chiqadiki, oddiy differensial tenglamaning yechimini ketma-ketlik yordamida topish usuli, umuman olganda, amaliy masalalarni yechishda unchalik qo'llanilmaydi va yechimning ketma-ket ko'rinishida tasvirlanishining o'zi ham ketma-ketlik tahlilini murakkablashtiradi. olingan eritmaning sifat xossalari.

2.2. Umumlashtirilgan darajali qatorlar yordamida differentsial tenglamalarni integrallash.

Demak, agar (2.1) tenglamada a (x), b (x) funksiyalar ratsional bo’lsa, u yoki bo’lgan nuqtalar (2.1) tenglamaning yagona nuqtalari deyiladi.

Ikkinchi tartibli tenglama uchun

bu yerda a (x), b (x) |x - x 0 | oraliqdagi analitik funksiyalar< а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

X = x 0 yagona nuqtaga yaqin joyda darajalar qatori ko'rinishidagi yechim mavjud bo'lmasligi mumkin, bu holda yechimni umumlashtirilgan darajalar qatori shaklida izlash kerak:

Bu erda l va,…, () aniqlanadi.

Teorema_2. (2.6) tenglama x = x 0 yagona nuqtaga yaqin joyda umumlashtirilgan darajali qator (2.7) ko'rinishida kamida bitta aniq yechimga ega bo'lishi uchun bu tenglamaning ko'rinishi bo'lishi kifoya.

konvergent quvvat qator mohiyati, va koeffitsientlari bir vaqtning o'zida nolga teng emas, chunki aks holda nuqta x = x 0 yagona nuqta emas va x = x 0 nuqtasida ikkita chiziqli mustaqil halomorf mavjud. Bundan tashqari, agar (2,7") tenglama koeffitsientlariga kiritilgan qator (2,7 ") mintaqada yaqinlashsa | x - x 0 |< R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.

x> 0 uchun (2.6) tenglamani ko'rib chiqing. Bu tenglamaga (2.7) ifodani x 0 = 0 o'rniga qo'ysak, bizda

X ning darajalaridagi koeffitsientlarni nolga tenglashtirib, biz takroriy tenglamalar tizimini olamiz:

……..........................……………………………………………. (2.8)

ko'rsatilgan joyda

Chunki, u holda l tenglamani qondirishi kerak

boshqaruvchi tenglama deyiladi. Bu tenglamaning ildizlari bo'lsin. Agar farq butun son bo'lmasa, u holda har qanday butun son uchun k> 0, ya'ni ko'rsatilgan usul bilan (2.6) tenglamaning ikkita chiziqli mustaqil echimini qurish mumkin:

Agar ayirma butun son bo'lsa, u holda umumlashtirilgan qator ko'rinishida bitta yechim qurish uchun yuqoridagi usuldan foydalanish mumkin. Ushbu yechimni bilib, Liouvil - Ostrogradskiy formulasidan foydalanib, ikkinchi yechimni chiziqli mustaqil ravishda topish mumkin:

Xuddi shu formuladan kelib chiqadiki, yechimni shaklda izlash mumkin

(A raqami nolga aylanishi mumkin).

Differensial tenglamalarni integrallashda umumlashtirilgan darajali qatorlardan foydalanishning alohida holatlari.

3.1. Bessel tenglamasi.

Bessel tenglamasi matematika va uning qo'llanilishidagi muhim differentsial tenglamalardan biridir. Bessel tenglamasining asosiy funksiyalar tizimini tashkil etuvchi yechimlari elementar funksiyalar emas. Ammo ular koeffitsientlari juda oddiy hisoblangan quvvat seriyalariga aylanadi.

Bessel tenglamasini umumiy shaklda ko'rib chiqing:

Matematik fizikaning ko'pgina masalalari bu tenglamaga keltiriladi.

X ni -x bilan almashtirilganda tenglama o'zgarmasligi sababli, x ning manfiy bo'lmagan qiymatlarini hisobga olish kifoya. Yagona yagona nuqta x = 0 dir. x = 0 ga mos keladigan boshqaruvchi tenglama,. Agar 0 bo'lsa, boshqaruvchi tenglama ikkita ildizga ega: va. Bu tenglamaning yechimini umumlashgan darajalar qatori shaklida topamiz

keyin, y, y "va y" ni dastlabki tenglamada almashtirsak, olamiz

Shunday qilib, bekor qilish, biz bor

Ushbu tenglik bir xil bo'lishi uchun koeffitsientlar tenglamalarni qondirishi kerak

Aniqlovchi tenglama l = n ildiziga mos yechim topilsin. Oxirgi tengliklarda l = n ni almashtirsak, biz noldan boshqa istalgan sonni olishimiz mumkin bo'lganligini ko'ramiz, raqam = 0 va k = 2, 3, ... uchun bizda

Demak, hamma uchun m = 0, 1, 2,….

Shunday qilib, barcha koeffitsientlar topildi, ya'ni (3.1) tenglamaning yechimini ko'rinishda yozish mumkin.

Funktsiya bilan tanishtiramiz

Eylerning gamma funksiyasi deb ataladi. Butun sonlar uchun nima va nima ekanligini hisobga olsak, shuningdek, ixtiyoriy doimiyni tanlasak, u qandaydir tarzda shaklda yoziladi.

birinchi turdagi n-tartibli Bessel funksiyasi deyiladi.

Bessel tenglamasining chiziqli mustaqil ikkinchi xususiy yechimi shaklda qidiriladi

Aniqlash uchun tenglamalar shaklga ega

Biz topamiz deb faraz qilamiz

Gipotezaga ko'ra, n butun son emas, shuning uchun juft sonli barcha koeffitsientlar quyidagi tarzda ifodalanadi:

Shunday qilib,

y 2 (x) ni shaklda ifodalaymiz deb faraz qilamiz

manfiy indeksli birinchi turdagi Bessel funksiyasi deyiladi.

Shunday qilib, agar n butun son bo'lmasa, u holda dastlabki Bessel tenglamasining barcha yechimlari Bessel funktsiyasining chiziqli birikmalari va:.

3.2. Gipergeometrik tenglama yoki Gauss tenglamasi.

Gipergeometrik tenglama (yoki Gauss tenglamasi) shakldagi tenglamadir

bu yerda a, b, g haqiqiy sonlar.

Nuqtalar tenglamaning yagona nuqtalaridir. Ularning ikkalasi ham muntazamdir, chunki bu nuqtalar yaqinida Gauss tenglamasining koeffitsientlari normal shaklda yozilgan.

umumlashgan kuch qatori sifatida ifodalanishi mumkin.

Keling, buni nuqta uchun tasdiqlaylik. Darhaqiqat, buni sezish

(3.2) tenglamani quyidagicha yozish mumkin

Bu tenglama tenglamaning maxsus holatidir

va bu erda, x = 0 nuqta Gauss tenglamasining muntazam singulyar nuqtasi bo'lsin.

X = 0 yagona nuqtaga yaqin joyda Gauss tenglamasining asosiy yechimlar tizimini tuzamiz.

x = 0 nuqtasiga mos keladigan boshqaruvchi tenglama shaklga ega

Uning ildizlari va ularning farqi butun son emas.

Shuning uchun x = 0 yagona nuqtaga yaqin joyda umumlashtirilgan darajalar qatori ko'rinishidagi asosiy echimlar tizimini qurish mumkin.

birinchisi boshqaruvchi tenglamaning nol ildiziga mos keladi va oddiy darajalar qatoridir, shuning uchun yechim x = 0 yagona nuqtaga yaqin joyda golomorf bo'ladi. Ikkinchi yechim, albatta, x = 0 nuqtada golomorf emas. Keling, birinchi navbatda boshqaruvchi tenglamaning nol ildiziga mos keladigan ma'lum bir yechimni tuzamiz.

Shunday qilib, (3.2) tenglamaning ma'lum bir yechimini shaklda qidiramiz

(3.3) ni (3.2) ga almashtirib, biz hosil qilamiz

Erkin atamani nolga tenglashtirib, biz olamiz.

Keling, keyin olamiz.

Koeffitsientni nolga tenglashtirib, biz quyidagilarni topamiz:

Shunday qilib, qidirilayotgan maxsus yechim quyidagi shaklga ega:

O'ngdagi qator gipergeometrik qator deb ataladi, chunki a = 1, b = g uchun u geometrik progressiyaga aylanadi.

Teorema_2 ga binoan (3.4) qator | x | uchun yaqinlashadi<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).

Ikkinchi maxsus yechim:

Aniqlanmagan koeffitsientlar usuli bilan topish o'rniga, biz Gauss tenglamasida kerakli funktsiyani formula bilan almashtiramiz.

Gauss tenglamasini olamiz

bunda a, b va g parametrlarining rolini va bajaradi.

Shuning uchun, boshqaruvchi tenglamaning nol ildiziga mos keladigan ushbu tenglamaning ma'lum bir yechimini qurib, uni (3.6) ga almashtirib, biz ushbu Gauss tenglamasining ikkinchi xususiy yechimini quyidagi shaklda olamiz:

(3.2) Gauss tenglamasining umumiy yechimi:

X = 0 yagona nuqtaga yaqin joyda Gauss tenglamasining qurilgan fundamental yechimlari tizimidan foydalanib, x = 1 yagona nuqtaga yaqin joyda ushbu tenglamaning fundamental yechimlari tizimini osongina qurish mumkin, bu ham muntazamdir. yagona nuqta.

Shu maqsadda bizni qiziqtirgan x = 1 yagona nuqtani t = 0 nuqtaga va u bilan birga x = 0 yagona nuqtani x = 1 - mustaqil o'zgaruvchining chiziqli o'zgarishidan foydalanib, t = 1 nuqtaga o'tkazamiz. t.

Ushbu almashtirishni berilgan Gauss tenglamasida bajarib, biz hosil bo'lamiz

Bu parametrli Gauss tenglamasi. Bu mahallada bor | t |<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений

X o'zgaruvchisiga qaytsak, ya'ni t = 1 - x o'rnatsak, biz nuqta qo'shnisida dastlabki Gauss tenglamasining asosiy yechimlar tizimini olamiz | x - 1 |< 1 особой точки х = 1

Gauss tenglamasining (3.2) sohadagi umumiy yechimi

Oddiy differensial tenglamalarni qatorlar yordamida integrallash usulini amaliyotda qo‘llash.

Misol_1. (691-son) Dastlabki shartlar bilan qatorning dastlabki bir necha koeffitsientlarini (x 4 inklyuziv koeffitsientigacha) hisoblang.

Dastlabki shartlardan kelib chiqadiki, endi qolgan koeffitsientlarni topamiz:

Misol_2. (696-son) Dastlabki shartlar bilan qatorning dastlabki bir necha koeffitsientlarini (x 4 inklyuziv koeffitsientigacha) hisoblang.

Yechish: Tenglamaning yechimini shaklda izlaymiz

Olingan ifodalarni asl tenglamaga almashtiramiz:

O'ng tomonni darajalar qatori sifatida ifodalab, tenglamaning har ikki tomonidagi x ning bir xil darajadagi koeffitsientlarini tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

Shartga ko'ra, x 4 koeffitsientigacha bo'lgan qator koeffitsientlarini hisoblash kerak bo'lganligi sababli, koeffitsientlarni hisoblash kifoya.

Dastlabki shartlardan shunday va 2. Endi qolgan koeffitsientlarni topamiz:

Shuning uchun tenglamaning yechimi shaklda yoziladi

Misol_3. (№700) Tenglamaning darajali qator ko'rinishidagi chiziqli mustaqil yechimlarni toping. Iloji bo'lsa, elementar funksiyalar yordamida olingan qatorlar yig'indisini ifodalang.

Yechim. Tenglama yechimini ketma-ket ko‘rinishda izlaymiz

Bu qatorni ikki marta differensiallash va uni bu tenglamaga almashtirsak, biz bor

Keling, hosil bo'lgan tenglamadagi qatorning birinchi bir necha shartlarini yozamiz:

X ning bir xil kuchlaridagi koeffitsientlarni nolga tenglashtirib, biz aniqlash uchun tenglamalar tizimini olamiz:

………………………………….

Bu tenglamalardan topamiz

Aytaylik, u holda faqat koeffitsientlar nolga teng bo'lmaydi. Biz buni tushunamiz

Tenglamaning bitta yechimi

Topilganidan chiziqli mustaqil bo'lgan ikkinchi yechim faraz qilish yo'li bilan olinadi. Shunda faqat koeffitsientlar nolga teng bo'lmaydi:

X ning istalgan qiymatini ifodalovchi va yaqinlashuvchi qatorlar analitik funksiyalardir. Shunday qilib, asl tenglamaning barcha yechimlari x ning barcha qiymatlari uchun analitik funktsiyalardir. Barcha yechimlar formula bilan ifodalanadi, bunda S 1, S 2 ixtiyoriy konstantalardir:

Olingan qatorlar yig‘indisini elementar funksiyalar yordamida ifodalash oson bo‘lgani uchun u quyidagicha yoziladi:

Misol_4. (# 711) 2x 2 y "+ (3x - 2x 2) y" - (x + 1) y = 0 tenglamasini yeching.

Yechim. x = 0 nuqtasi bu tenglamaning muntazam singulyar nuqtasidir. Aniqlovchi tenglama tuzamiz: Uning ildizlari l 1 = 1/2 va l 2 = - 1. l = l 1 ildizga mos keladigan asl tenglamaning yechimini ko‘rinishda izlaymiz.

Asl tenglamani almashtirib, bizda mavjud

Demak, kamaytirib, biz olamiz

X ning bir xil kuchlaridagi koeffitsientlarni tenglashtirib, bizda aniqlash uchun tenglamalar mavjud:

y 0 = 1 ni qo'yib, topamiz

Shunday qilib,

l = l 2 ildiziga mos keladigan asl tenglamaning yechimini ko‘rinishda izlaymiz.

Ushbu ifodani asl tenglamaga qo'yib, koeffitsientlarni x ning bir xil darajalariga tenglashtirib, biz olamiz yoki y 0 = 1 ni qo'yib, topamiz.

Asl tenglamaning umumiy yechimini shaklda yozamiz, bu erda va ixtiyoriy doimiylar.

Xulosa

Noma'lum funktsiyalar va ularning hosilalarini o'z ichiga olgan tenglamani birinchisidan yuqoriroq yoki murakkabroq usulda yechish ko'pincha juda qiyin.

So'nggi yillarda bunday differensial tenglamalar tobora ko'proq e'tiborni tortmoqda. Tenglamalar yechimlari ko'pincha juda murakkab va oddiy formulalar bilan ifodalash qiyin bo'lganligi sababli, zamonaviy nazariyaning muhim qismi ularning xatti-harakatlarini sifatli tahlil qilishga bag'ishlangan, ya'ni. Tenglamani yechmasdan, umuman yechimlarning tabiati haqida muhim narsani aytishga imkon beradigan usullarni ishlab chiqish: masalan, ularning barchasi cheklangan yoki davriy xususiyatga ega yoki ma'lum bir tarzda koeffitsientlarga bog'liq. .

Kurs ishi jarayonida differensial tenglamalarni quvvat va umumlashgan darajali qatorlar yordamida integrallash usuli tahlil qilindi.

Adabiyot:

Matveev N.V. Oddiy differensial tenglamalar uchun integrallash usullari. Ed. 4, rev. va qo'shing. Minsk, “Visheysh. maktab ”, 1974. - 768-yillar. loy bilan.
Agafonov S.A., German A.D., Muratova T.V. Differensial tenglamalar: Darslik. universitetlar uchun / Ed. Miloddan avvalgi Zarubina, A.P. Krishchenko. - 3-nashr, stereotip. -M .: MSTU im. nashriyoti. N.E. Bauman, 2004 .-- 352 b.
Bugrov Ya.S., Nikolskiy S.M. Oliy matematika. 3-jild: Differensial tenglamalar. Ko'p integrallar. Qatorlar. Kompleks o‘zgaruvchining funksiyalari: Darslik. universitetlar uchun: 3 jildda / Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolskiy; Ed. V. A. Sadovnichiy. - 6-nashr, Stereotip. - M .: Bustard, 2004. —— 512s.: kasal.
Samoleinko A.M., Krivosheya S.A., Perestyuk N.A. Differensial tenglamalar: misollar va muammolar. Darslik. nafaqa. - 2-nashr, Rev. - M .: Yuqori. shk., 1989. - 383 b.: kasal.
Filippov A.F. Differensial tenglamalar bo'yicha masalalar to'plami. Darslik. universitetlar uchun qo'llanma. - M .: Fizmatizd, 1961 .-- 100 b .: kasal.
Yuklab oling: Bizning serverimizdan fayllarni yuklab olish huquqiga ega emassiz.

QOZOGISTON RESPUBLIKASI TA’LIM VA FAN VAZIRLIGI

Shimoliy Qozog'iston davlat universiteti

ular. M.Qo‘ziboyeva