1. Teylor qatori. Makloren qatori. Elementar funktsiyalarni darajali qatorlarga yoyish. Teylor qatori f(X)

f`(x)=a₁+2a₂(x-x₀)+3a₃(x-x₀)²+…+na_n(x-x­₀)^n-1+… (3)

Bundan, x = x₀ bo`lgan holda

f`(x₀)=a₁ (4)

ekanligi ko`rinadi. (3) ning ikkala tomonini differentsiallab, quyidagini hosil qilamiz:

(5)

x = x₀ bo`lganda

. (6)

Yuqoridagi jarayonni davom ettirsak, quyidagilar hosil bo`ladi:

(7)

(2), (4), (6) va (7) lardan (1)- qator koeffisiyentlarini topamiz:

, , ,…, ,… (8)

a_0­­, a_1, a₂,… a_n lar Teylor koeffitsiyentlaridan iborat.

Agar (8)- qatordagi a_0­­,_, a₁,…a_n larning qiymatlari (1)- qatorga qo`yilsa, f(x) funktsiyaning x<sub>0</sub> nuqtadagi Teylor qatori hosil bo`ladi:

(9)

f(x) funktsiyaning x₀ nuqtadagi integral ko`rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi quyidagidan iborat:



R_n (x) – qoldiq had.

Bunda, .

MAKLOREN QATORI
Faraz qilaylik, berilgan f(x) funktsiya quyidagi darajali qatorga yoyilgan bo`lsin:

(1)

Bundagi a₀, a₁, a₂, a₃,… lar aniqmas koeffisiyentlardan iborat. Shu koeffisiyentlarni berilgan f(x) funktsiya orqali ifodalaymiz. Darajali qatorni uning yaqinlashish oraligi da hadlab differentsiallaymiz:

Hosil bo`lgan tengliklar va (1) tenglikda x=0 deb, quyidagi a<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>,… larga ega bo`lamiz:

, , , , ,...

Bu qiymatlarni (1) qatorga qo`yamiz:

(2)

Hosil bo`lgan (2) qatorga Makloren qatori deyiladi.

formula esa qoldiq hadli Makloren formulasidir.

Teylor va Makloren qatorlaridan ko`rinadiki, Makloren qatori Teylor qatorining xususiy holidan iborat bo`lib, Teylor qatoridagi x = 0 bo`lganda ikkala qator ham bir xil ko`rinishga ega bo`ladi.
ELEMENTAR FUNKTSIYaLARNI DARAJALI QATORLARGA YoYISh
1.f(x) =e<sup>x</sup> funktsiyani x darajasi bo`yicha Makloren qatoriga yoyish.

Yechilishi: e^x ning hosilalarini ketma–ket topamiz va x=0 nuqtada ularning qiy-matlarini aniqlaymiz:

, , , ,…

x=0 bo`lganda:

, , , ,…

Bu qiymatlarni Makloren qatoriga qo`ysak, quyidagi qator hosil bo`ladi:

2. f(x) = sinx funktsiyani Makloren qatoriga yoyish.

Yechilishi: Berilgan funktsiyaning hosilalarini topamiz:



x =0 nuqtada ularning qiymatlarini topamiz va Makloren qatoriga qo`yamiz:



3.f(x) = cos x funktsiyaning yoyilmasi.

Yechilishi: f(x) = cos x funktsiyaning hosilalarini topamiz:

…

x = 0 nuqtada topilgan hosilalarning qiymatlarini aniqlaymiz:

Topilgan qiymatlarni Makloren qatoriga qo`yamiz:

4.f(x) = (1+x)^k – Nyuton binomining yoyilmasi.

Yechilishi: Berilgan Nyuton binomidan ketma – ket hosilalar olamiz:



,…

x = 0 nuqtada qiymatlarini topamiz:

Topilganlarni Makloren qatoriga qo`yamiz:

5. ko`phadni (x - 1) ning darajasi bo`yicha qatorga yoyish.

Yechilishi: Berilgan funktsiyaning hosilalarini topamiz:

x=1 nuqtada ko`phad va uning hosilalari qiymatlarini topamiz:

, , , , ,

Topilgan qiymatlarni Teylor qatoriga qo`yamiz:

6. funktsiyani x = 0 nuqtada Teylor qatoriga yoyish.

Yechilishi: Funktsiyaning hosilalarini topamiz:

, ,

Qiymatlarini topib, Teylor qatoriga qo`yamiz:

, , , ,…,

U holda,

7. ko`phadni x–2 ning o`suvchi darajasi tartibida Teylor qatoriga yoying.

Yechilishi: Funktsiyaning hosilalarini topamiz:

, ,

Hosilalarning son qiymatini topish uchun x ning o`rniga 2 ni qo`yamiz, ya`ni x=2:

, , , .

Bu qiymatlarni Teylor qatoriga qo`yamiz:

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. 
   L.P.Stoylova, A.M.Pishkalo Boshlang’ich matematika kursi asoslari. "O’qituvchi", 1991.
   
2. 
   N.Ya.Vilenkin. Matematika M., 1977.
   
3. 
   O.Xudoyberganov. Matematika T., 1980.
   
4. 
   N.N.Lavrova, L.P.Stoylova. Zadachnik-praktikum po matematiki M., 1985.
   
5. 
   R.Ibrohimov. Matematikadan masalalar to’plami. T., 1995.
   
6. 
   A.G.Hikmatov, T.Turdiev. Matematik analiz.
   
7. 
   A.G.Hikmatov, T.Toshmetov, K.Qarasheva. Matematik analizdan mashqlar va masalalar to’plami T., 1987.
   
8. 
   A.G.Hikmatov. Modulli ifodalar. T., 1996.
   
9. 
   R.N.Nazarov, B.T.Toshpulatov, A.D.Dusumbetov. Algebra va sonlar nazariyasi. T., 1993.
   
10. 
    N.Dadajonov va b. Geometriya I, II k. T., 1988.
    
11. 
    X.X.Nazarov, X.O.Ochilova, Ye.G.Podgornova. Geometriyadan masalalar to’plami. I, II k. T., 1983.
    
12. 
    A.V.Pogorelov. Geometriya. 7-11 sinflar uchun.T.1983
    
13. 
    N.N.Lavrova, L.P.Stoylova Zadachnik praktikum po matematike M. MGZPI,1988.
    
14. 
    L.P.Stoylova, N.Ya.Vilenkin Seliye neotritsatelniye chisla M. MGZPI. 1986
    
15. 
    F.Qosimov, M.Qosimova, G.Umarova Matematika fanidan ma’ruza matnlari 1-qism, Buxoro.2005
    
16. 
    F.Qosimov, M.Qosimova, G.Umarova Matematika fanidan ma’ruza matnlari 2-qism, Buxoro.2005
    
17. 
    N.A.Hamidova, Z.Ibragimova Matematika(Maxsus sirtqi bo’lim uchun joriy o’quv dasturi)T.2002
    
18. 
    M.Jumayev Matematika o’qitish metodikasidan praktikum. T.2004
    
19. 
    F.M.Qosimov, M.M.Qosimova. Matematikadan mustaqil nazorat ishlari to’plami. Buxoro, 2005.