1. Ta'rif va misollar

n = {w; W = (w1 ,W2,· ·· ,Wn )}
sn ta elementar w hodisalardan tashkil topadi va bu yerda wi Iar Ei Iardan biriga teng ho' ladi. Endi {I, 2, ..., s} to' plan1dan qiymatlar qabul qiladigan

X o': I 1.' . . ' X n' ...
tasoclifiy miqdo rlar ketma-ketligi:ni kiritamiz:
(1)

P ( x₀
^{= i) = p}"^{,, i} == ^I' ²,... ,s,
LP.i == 1,

$
·i= l

va :r;k tasodifiy miqdor i ga teng bo' ladi, agar k - nchi tajribada E.
'l,
elementar hodisa ro'y bersa, ya'ni xkmiqdor k -nchi tajribada ro'y bergan
elementar hodisaning ta1tib raqamiga teng bo'ladi.
Aytilgan ma'noda
{w; xk (w) = i}, k = 1,2, ...,n
hodisani qiymatlari (E₁, ... , E₈ ) to'plamdan iborat bo'lgan qandaydir fizik sistema k -nchi momentda Ei holatda bo'lishini anglatadi deb tushunish mumkin va shu ma'noda x₀ sistemaning boshlang'ich (0-nchi) holatiga mos keladi.
Ta'rif. Tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi (1), holatlari

s
S == {1, 2,..., s} bo'lgan Markov zanjiri deb ataladi, agar quyidagi shartlar bajarilsa:
1) LP (xk == i) == 1,
i = l

2. 
   har qanday O < t₁ < t₂ < ... m < n (r == 1,2,...), i,j ES larva 8
   

ning har qanday B₁ , . . . , Br to'plam ostilari uchun

1
P(xn == j / Xt E B1,···,Xtr E Br,xm == iJ == P(xn == j / Xm == i). (2)
Keltirilgan (2) tenglik (1) ketlna-ketlik uchun Markov xossasi deb ataladi va o'rganilayotgan siste1naning berilgan rn mon1entdagi holati fiksirlangan bo' Isa, kelgusida ( n > m) sistemaning holatlari o'zgarishi uning
"o' tmishdagi" ( ti E B₁, ••. , t,. E Br ) holatlariga bog'Iiq emasligini bildiradi.
Markov xossasi qisqa qilib aytganda, sistemaning "kelajagi", "hozirgi" holati fiksirlangan bo'lsa, uning "o'tmishiga" bog'liq bo'lmasligini anglatadi. Bu yerda ham oldin eslatib o'tilganidek,
{w;xn (w) - i}, i ES, n = 0,1,...
hodisa sistemaning n - mo1nentda i holat bo' lishini belgilaydi.
Markov zanjiri bir jinsli deyiladi, agar har qanday i, j E S lar uchun
P (xn+I == j / ;J:n == i) == Pij, n == 0,1, 2,... (3)
ehtimolliklar n ga bog'liq bo'lmasa.
Bu (3) tenglikdagi Pij lar o'tish ehtin101liklari va ular tashkil qilgan matritsa
Pi1 Pis

Psi Pss



o'tish ehtimolliklar· matritsasi deb ataladi. Bu matritsaning elementlari quyidagi shartni qanoatlantiradi:
s
Pi j> 0, Pij == 1, i == I, ... , s . (4)
j=l
Elementlari (4) tengliklami qanoatlantiradigan har qanday p= ( Psi
1
matritsa ehtimolliklar nazariyasida stoxastik matritsalar deb atala.di
Endi, o'tish ehtimolliklari matritsasi P va boshlang'ich ehtimolliklar deb ataluvchi x₀ tasodifiy miqdoming taqsimoti
P == ( Pi,···, Ps )

1. 
   tasodifiy miqdorlar ketma-ketligini to' la aniqlashini isbotlaymiz. Buning uchun (( ₀ ,( ₁, . . . , (n) tasodifiy vektoming taqsimotini P va p laming elementlari orqali ifoda etish mumkinligini ko'rsatish yetarli bo' ladi. Haqiqatan ham, shartli ehtimolliklar formulasiga asosan
   

P(xo = io,x1 = 4,x2 = i2,···,xn-l = in-1,Xn = in ) =

. .)
== P (x₀ = 7-0) · P (xi == i₁ / x₀ == i ₀ ) x
X ^{P r}\?2 =^.= 12^I Xo = io, X1 == 2:i X ...


.. · Xp (Xn = in / Xo = io, X1 == ¾,..·, Xn-I == in-I)·
Bu yerda (2) tenglik bilan berilgan Markov xossasiga asosan (ik E S)
P(xk = ik / Xo = io,x1 = ½,···,xk-I == ik-1) =
P(xk = ik / xk-I == ik _₁ ), k = l,2,.... (5) Markov zanjirining bir jinslilik xossasi (3) dan foydalanib, (5) tenglikning o'ng tomonidagi ehtimollik Pik-i,ik ga teng ekanligini olamiz. Bulami va
p - boshlang'ich taqsimotning elementini hisobga olib, x₀ , x₁ ,..., x₁₁ tasodifiy miqdorlaming birlashgan taqsimoti uchun quyidagi formulani olamiz:

p ( Xo == io, X1 == ii'..'.
xn == in) = P7-.0
Pioi1. Pi1½ Pn-i
I in ( 6)

O'z-o'zidan ko'rinadiki, (5) tenglik (2) ning xususiy holi va undan (6) tenglikni keltirib chiqardik. Aksincha, (6) tenglikdan (2) (Markov xossasi) ham kelib chiqadi. Demak, (2)- Markov xossasi (6) tenglikka teng kuchli bo'lar ekan. Ya'ni (6) formuladan kelib chiqadiki, w = ( wi, w₂ , ... ,wn) ED
elementar hodisaga

p (w) = Pi.o
ehtimollik yozilsa,
Pioi.1
Pi(.½
' ... Pin-Iin

tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi Markov sxemasi bilan bog'Iiq bo'lgan
tajribalar ketma-ketligini ifoda etadi.

Bir jinsli Markov zanji rlari uchun

P (X t+v == j / x₁₁ == i) == P ( xt == .i / x₀ == i); i, j E S, (7)
o'rinli ekanligiga ishonish qiyin e1nas (bunda ham (6) fo1muladan
foydalanish yetarli bo' ladi).
(7) tenglikdagi ehtirnollik v ga bog'liq bo'hnagani uchun
P ( xt+v == .i / X₁₁ == i) == i (t). (8)
Bu i (t) i, j E S, ehtin1olliklaini t qadamda i holatdan j holatga o'tish ehtimolliklari deyiladi ( t == 0,1, 2, ...).
Endi, bir necha rnisollar keltiramiz.
Misol 1. [0, n] oraliqdagi butun sonlarga mos keluvchi nuqtalar ho'yicha "daydib" yurgan zarrachaning harakatini ko'raylik va "daydish"
quyidagi sxema bo' yicha ro'y bersin:
r l d ---+-- bM-cp-+- \ --,-----;-, ol
⁰ k-l k k+l _n
ya'ni "zarracha" 0 va n oralig' idagi ixtiy oriy k nuqtadan "daydishini" boshlab, bir qadamda p ehtimollik bilan o' ngga, 1 - p ehtimollik bilan esa chapga siljiydi ( O < p < I ). Zarracha chekka nuqtalar O va n larga tushishi bilan ulardan qaytib chiqmaydi. Bu "d aydish" holatla r to' plami
S = {0, I, ..., k - 1, k , k +1, .. ., n}
bilan Markov zanjirini tashkil qiladi va uning uchun boshlang'ich taqsimot
Pi = 0, i += k , Pk = I,
ya'ni p = (o,o ,...,o ,1, 0,...,o) (k - joyda 1).
O'tish ehtimolliklari esa,
Pnl = 0 (l = 0, I, ..., n - 1) , Pot = 0 (l = 1, ... , n),

Poo= , I
Pnn= I , Pt,l + I = P, Pl,l-I = I- P = q (l = 1,..., n - 1 ) .

Bu ehtimolliklar quyidagi o'tish matritsasini tashki l qiladi:

	1	0	0		0	0
	q	O	p	. . .	0	0
P=
	0	0	...	q	O	p
	0	0	0	. ..	0	I

Misol 2. Stoxastik matritsasi


_-^{1 1} _-1

^{3 3} 3
_{p - 0} ¹ _-1

va boshlang'ich taqsimoti
² 2
₀ ¹ l
² 2


P == ( Pi, P2, P3 ) == (1,0, 0)

bilan aniqlangan Markov zanjirini ko'raylik.
Bu holda,

S == (1, 2, 3)
va 2, 3-holatlami 1-holatga o'tishi mum.kin bo'lmagani uchun
P ( xn == 1) == P (x₀ == 1, x₁ == 1, ..., xn = 1) ==
== P ( x₀ == 1) · P ( x₁ == 1/ x₀ == I) ...P(xn = 1/ Xn-I = 1) =
-3n .

Agar "zanjiming" doim 1-nchi holatda qolishi hodisasini A deb belgilasak,
Ulll

00
A = (l {Xn == 1}
n=l
ko'rinishda yozish mum.kin va { xn =-= 1} kainayuvchi hodisalar ketma- ketligi bo' lishidan ehtimollikning uzluksizlik xossasiga asosan,
P(A) = lim P(xn = 1) = lim 3-n == 0
n->oo n-oo

l
bo'ladi.
Misol 3. O'tish matritsasi


p = [
va boshlang'ich taqsimoti p == (Pi, p₂ ) == (1, 0) bo'lgan Markov zanjirini ko'raylik.
Agar n == 0 boshlang'ich momentda sistema 1 holatda bo'lsa, toq
tartib raqamli momentlarda sistema 2 holatda, juft tartib raqainli momentlarda esa 1 holatda bo'ladi. Shuning uchun ham

.R (t ) ==1- -(
1 t )
P, (t) == 1 +(-1 )t

12 2 ' 11 2 .
""' 2. _O'tish e_hti olliklari uchun tenglamalar. Statsionar taqsi.n1ot
Eslat1b o'tain1.zk1, t . qadamda o'tish ehti1nolliklari

J· ( t) == P(xt _-¹_,;t_o
== _.1· /_.
^xl{f- ^-.
i) - P (x ./. z·)

I - ti == .7 Xo == ',

har qanday t, t₀ == 0), 2, ..., i, j E S.