1-tanlov moduli. Sonlar va amallar (18 soat) 1-mavzu: to‘plamlar va ular ustida bajariladigan amallar. Mulohazalar va ular ustida bajariladigan amallar.

Unar mantiqiy amallar (1-jadval)

x	u0	u1	u2	u3
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Berilgan ikkita x va y o’zgaruvchi elementar mulohazalar uchun jami to’rtta bir-biridan farqli qiymatlar satrlari kombinasiyalari tuzish mumkin bo’lgani sababli barcha turli binar mantiqiy amallar soni ga teng. Mumkin bo’lgan barcha turli binar mantiqiy amallar (b_i=b_i(x,y), i= 0,…,12) natijalari 2- jadvalda (chinlik jadvalida) keltirilgan.

Binar mantiqiy amallar ( 2-jadval)

x	Y	b0	b1	b2	b3	b4	b2	b6	b7
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1
x	Y	b8	b9	b10	b11	b12	b13	b14	b12
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1

Mantiqiy amallami yuqoridagi usul bilan o’rganishni davom ettirib, berilgan uchta x, y, z o’zgaruvchi elementar mulohazalar uchun hammasi bo’lib sakkizta (2³=8) bir-biridan farqli qiymatlar satrlari kombinasiyalari tuzish mumkinligini va, shu sababli, turli ta ternar mantiqiy amallar borligini ta’kidlaymiz. Tarkibidagi o’zgaruvchi elementar mulohazalari to’rtta bo’lgan turli mantiqiy amallar esa ta.

Asosiy mantiqiy amallar beshta bo’lib, ulardan biri unar, to’rttasi esa binar amaldir. Ular quyida bayon etilgan.
4. MANTIQIY AMALLAR ALGEBRASI

4.1. Inkor amali.

Inkor amali mulohazalar mantiqining eng sodda amallaridan biri bo’lib, u unar amaldir, ya’ni inkor amali bitta elementar mulohazaga nisbatan qo’llaniladi.

2-ta’rif. Berilgan x elementar mulohaza chin bo’lganda yo qiymat qabul qiluvchi va, aksincha, x yolg’on bo’lganda ch qiymat qabul qiluvchi murakkab mulohaza x mulohazaning inkori deb ataladi,

“Berilgan mulohazaning inkori unga inkor amalini qo’llab hosil qilindi” deb aytish mumkin. Inkor amali 1- jadvalda ifodalangan u₂ amalidan iborat bo’lub, unga o’zbek tilidagi “emas” sifatdoshi mos keladi. Berilgan x mulohazaning inkori kabi belgilanadi. mulohaza “x emas” deb o’qiladi. Inkor amalini belgilashda “¬” belgi ham qo’llanilishi mumkin. Bu holda x mulohazaning inkori ¬x shaklda yoziladi. x mulohazaning inkori uchun chinlik jadvali 3- jadval bo’ladi (1- jadvalning x va u₂ ustunlariga qarang). 3- jadvalni inkor amalining ekvivalent ta’rifi sifatida ham qabul qilish mumkin.

2-misol. “Bugun havo sovuq.” degan elementar mulohaza x bilan belgilangan bo’lsa, uning inkori “Bugun havo sovuq emas” ko’rinishdagi murakkab mulohazadan iboratdir. ■



3-jadval

x	y
yo	ch
ch	yo

4.2. Kon’yunksiya (mantiqiy ko’paytma amali).

Endi ikkita mulohazaga nisbatan qo’llanilishi mumkin bo’lgan binar amallardan biri hisoblangan kon’yunksiya (mantiqiy ko’paytma) amalini o’rganamiz.

3-ta’rif. Berilgan x va u elementar mulohazalar chin bo’lgandagina ch qiymat qabul qilib, qolgan hollarda esa, yo qiymat qabul qiluvchi murakkab mulohaza x va u mulohazalarning kon’yunksiyasi deb ataladi.

“Berilgan mulohazalarning kon’yunksiyasi bu mulohazalarga kon’yunksiya amalini qo’llab hosil qilindi” deb aytish mumkin. Kon’yunksiya amali 2-jadvalda ifodalangan b₁ amali bo’lub, unga o’zbek tilidagi “va” bog’lovchisi mos keladi. Berilgan x va u elementar mulohazalar ustida bajariladigan kon’yunksiya (mantiqiy ko’paytma) amalini belgilashda “˄” yoki “&” belgi qo’llaniladi, ya’ni bu amal natijasida hosil bo’lgan murakkab mulohaza x˄u (yoki x&y) ko’rinishda belgilanadi. Mantiqiy ko’paytma amalini ifodalovchi “˄” yoki & belgi ba’zan yozilmasligi (masalan, x va u o’zgaruvchi mulohazalarning mantiqiy ko’paytmasi xy ko’rinishda ifodalanishi), ba’zan esa, nuqta (•) belgisi bilan almashtirilishi (x•y ko’rinishda yozilishi) mumkin. x˄u (x&y, x•y, xy) mulohaza "x va y" deb o’qiladi. x va u elementar mulohazalarning x˄y koa’yunksiyasi uchun chinlik jadvali 4- jadval bo’ladi (2- jadvalning x, y va b₁ ustunlariga qarang).

3-misol. “2 soni toq va tubdir" ko’rinishdagi murakkab mulohaza chindir. Chunki berilgan mulohaza ikkita "2 soni toqdir” va “2 soni tubdir" elementar mulohazalar kon’yunksiyasi sifatida qaralishi mumkin hamda bu ikkita elementar mulohazalarning har bin chindir. ■

4-misol. “10 soni 2 ga qoldiqsiz bo’linadi” va “7>9. ” murakkab mulohaza yolg’on, chunki bu mulohaza ikkita “10 soni 2ga qoldiqsiz bo’linadi. ” va “7>9. ” elementar mulohazalar kon’yunksiyasi sifatida qaralsa, bu ikkita elementar mulohazalardan biri, aniqrog’i, “7>9. ” mulohaza yolg’ondir.

4- jadval

x	y	x˄y
yo	yo	yo
yo	ch	yo
ch	yo	yo
ch	ch	ch

4.3. Diz’yunksiya (mantiqiy yig’indi amali).

Mulohaza mantiqida ishla­tiladigan yana bir binar amal, diz’yunksiya (mantiqiy yig’indi) amali bo’lib, unga o’zbek tilidagi “yoki” bog’lovchisi mos keladi.

SHuni ta’kidlash joizki, “yoki” bog’lovchisidan o’zbek tilida ikki xil ma’noda foydalaniladi. Bu so’z, birinchi holda, rad etuvchi “yoki”, ikkinchi holda esa rad etmaydigan “yoki” ma’nosida ishlatiladi. “Yoki” bog’lovchisi rad etuvchi ma’noda ishlatilganda bog’lanayotganlardan faqat bittasi, rad etmaydigan ma’noda ishlatilganda esa bog’lanayotganlarning hech bo’lmaganda biri ro’yobga chiqishi nazarda tutiladi. Masalan, “Bugun yakshanba yoki men kinoga boraman” murakkab mulohazani olaylik. Agar haqiqatdan ham bugun yakshanba bo’lsa va men kinoga borsam, u holda bu mulohaza chinmi, yolg’onmi? Agar yuqoridagi mulohaza yolg’on deb hisoblansa, u holda “yoki” bog’lovchisi rad etuvchi ma’noda, chin deb hisoblaganda esa “yoki” rad etmaydigan ma’noda ishlatilgan bo’ladi.

Agar x va u mulohazalarning ikkalasi ham yolg’on bo’lsa, u holda “ x yoki u ” mulohazasi, shubhasiz, yolg’on bo’ladi. x chin va u yolg’on bo’lgan holda yoki x yolg’on va u chin bo’lganda, “x yoki y” mulohazani chin deb hisoblash kerak, bu esa o’zbek tilidagi “yoki” bog’lovchisining rad etmaydigan ma’nosiga to’g’ri keladi. Tabiiyki, har ikkala x va u mulohazalar chin bo’lganda “x yoki u” mulohaza chin bo’ladi.

4-ta’rif. Berilgan x va u elementar mulohazalar yolg’on bo’lgandagina yo qiymat qabul qilib, qolgan hollarda esa, ch qiymat qabul qiluvchi murakkab mulohaza x va u mulohazalarning diz’yunksiyasi deb ataladi.

“Berilgan mulohazalarning diz’yunksiyasi bu mulohazalarga diz’yunksiya amalini qo’llab hosil qilindi” deb aytish mumkin. Diz’yunksiya amali 2-jadvalda ifodalangan b₇ amali bo’lib, unga o’zbek tilidagi rad etmaydigan ma’noda ishlatiladigan “yoki” bog’lovchisi mos keladi. Diz’yunksiya amalini belgilashda “˅” belgidan foydalaniladi. Berilgan x va u elementar mulohazaning diz’yunksiyasi “x˅ y” kabi yoziladi va “x yoki u ” deb o’qiladi.

Berilgan x va u elementar mulohazalarning x˅ y diz’yunksiyasi uchun chinlik jadvali 2- jadval bo’ladi (2- jadvalning x, u va b₇ ustunlariga qarang).
2- jadval

x	y	x˅ y
yo	yo	yo
yo	ch	ch
ch	yo	ch
ch	ch	ch

2-misol. “10 soni 2 ga qoldiqsiz bo’linadi yoki 7>9” murakkab mulohaza chin, chunki berilgan mulohaza ikkita “10 soni 2ga qoldiqsiz bo’linadi” va “7>9” elementar mulohazalar diz’yunksiyasi sifatida qaralishi mumkin hamda bu ikkita elementar mulohazalardan biri, aniqrog’i, “10 soni 2ga qoldiqsiz bo’linadi” mulohazasi chindir.