|
3§. Kompleks hadli sonli qatorlar va qator yaqinlashishining zaruriy sharti.
Faraz qilaylik, (1) qator yaqinlashuvchi bo’lsin. U holda yaqinlashish ta’rifiga ,
.
Bularga asosan
Ya’ni cheksizlikka intilganda yaqinlashuvchi qatorning umumiy hadi nolga intiladi.
Lekin qatorning umumiy hadi nolga intilgani bilan uning yaqinlashuvchi bo’lishi shart emas.
Misol uchun,
lardan tuzilgan qator uzoqlashuvchi chunki bo'lganiga qaramay va dan tuzilgan qatorlar uzoqlashadi. Shu sababli tenglik qator yaqinlashishining zaruriy shartli (yetarli emas) deyiladi.
3.1-misol. Ushbu
.
qatorning umumiy hadi nolga intilsa ham u qator uzoqlashuvchidir chunki uning haqiqiy qismidan tuzilgan
garmonik qator uzoqlashuvchi.
Endi ushbu
qatorning umumiy hadi nolga intilishi bilan birga qator absolyut yaqinlashuvchi chunki, bo’lib,
va ga tegishli qator yaqinlashuvchi.
4§. Funksional qatorlarda tekis yaqinlashish belgisi.
Agar sohada
(1)
qatorning har bir hadining moduli ushbu
(2)
musbat hadli yaqinlashuvchi sonli qatorning mos hadidan katta bo’lmasa, u holda (1) qator sohada tekis yaqinlashadi.
Isbot. Berilgan (2) qatorning qoldiq hadi
va (1) ning qoldiq hadi
bo’lsin.Yuqorida qo’yilgan shartga muvofiq
bo’lgani sababli bo’ladi. Berilgan (2) qator yaqinlashuvchi bo’lgani uchun , ya’ni har qanday kichik musbat son uchun shunday katta musbat son topish mumkinki, bo’lganda bo’ladi.
Shubhasiz bu joydagi son ga bog’liq emas, chunki (2) sonli qatordan iborat bo’lib unda ishtirok etmaydi.
Demak, bo’lganda bo’ladi.
Bu esa ta’rifga ko’ra, (1) qatorning tekis yaqinlashuvchi ekanini bildiradi.
Darajali qatorlarni tekshirishda biz mana shu tekis yaqinlashish belgisidan ko’p foydalanamiz.
Endi haqiqiy o’zgaruvchilar sohasidagidek funksional qator yig’indisi ning funksional xossalariga, chunonchi uning sohada uzluksiz integrallanuvchi va differensiallanuvchi bo’lishiga oid bir necha muhim teoremalarni isbot qilamiz.
4.1-teorema. Agar biror G sohada barcha hadlari uzluksiz bo’lgan ushbu
qator o’sha sohada tekis yaqinlashuvchi bo’lsa u holda qatorning yig’indisi ham sohada uzluksiz bo’ladi.
Isbot. Dastlab ning sohadagi biror ixtiyoriy nuqtada uzluksizligini ko’rsatamiz.
Uning uchun ga tegishli yana bitta nuqta olib ushbu
va
xususiy yig’indilarini tuzamiz.
Bundan:
yoki
ga muvofiq
Bundan ushbu
()
tengsizlik kelib chiqadi. Berilgan (1) qator teoremaning shartiga ko’ra sohada tekis yaqinlashuvchi bo’lgani sababli har qanday kichik son uchun shunday sonni topish mumkinki bo'lganda bo'ladi. Mana shunga asosan va nuqtalar ham ga tegishli bo’lgani uchun , (4)
Ikkinchi tomondan (1) qatorning barcha hadlari sohada uzluksiz bo’lganligi sababli uning ta hadining yig’indisi ham uzluksiz bo’ladi.
Demak uzluksizlik ta’rifiga asosan har qanday kichik son uchun shunday son borki, bo’lganda
(5)
bo’ladi.
Demak (5) va (4) larga asosan (2) dan: .
U holda berilgan qator yig’indisi funksiya da uzluksiz bo’ladi.
nuqta ning ixtiyoriy nuqtasi bo’lgani uchun funksiya sohada uzluksizdir. Shu bilan teorema isbot bo’ldi.
Bu teoremaning muhim joyi shundaki ning uzluksiz bo’lishi uchun (1) qator tekis yaqinlashuvchi bo’lishi kerak.
Agar qator oddiy ya’ni notekis yaqinlashuvchi bo’lsa uning har bir hadi uzluksiz bo’lsa ham yig’indisi uzluksiz bo’lmasligi mumkin.
Ushbu
(6)
qatorni doirada va nuqtada tekshiramiz.
Bu qator birinchi ta hadining yig’indisi bo'lsa, yetarli katta da ya’ni da nolga intiladi agar z=1 bo’lsa u holda , .
Demak (6) qatorning yig’indisi doiraning ichida yotuvchi ixtiyoriy nuqtada nolga teng bu doira aylanasining nuqtasida birga teng.
(6) qatorning hadlari uzluksiz funksiyalardan iborat bo’lishiga qaramay, uning yig’indisi z=1 nuqtada uzilishga ega bo’lyapti. Buning sababi (6) qatorning da tekis yaqinlashmasligidadir.
(6) qatorning | da tekis yaqinlashuvchi emasligini xuddi bundan oldingi misoldagidek tekshiriladi.
Xulosa
Kurs ishida kompleks hadli sonli va funksional qatorlar haqida umumiy ma’lumot berilgan. Bunda kompleks hadli sonli qatorlar va qator yaqinlashishining zaruriy sharti berilgan va misollar orqali tushuntirilgan.
Ushbu kurs ishidagi mavzularni o’rganishda men matematik analiz faniga oid kitoblarni yanada ko’proq o’rgandim. Kompleks hadli sonli va funksional qatorlar misollarini ishlanishini o’rgandim va shu mavzuga doir misollarni kurs ishiga kiritdim. Oliy matematikaning shu qismini o’rganish mobaynida men kompleks hadli sonli qatorlar va ularning yaqinlashishining zaruriy sharti, kompleks hadli funksional qatorlar va ularning tekis yaqinlashish belgisi mavzulari bilan tanishdim.
Mazkur kurs ishida kompleks o’zgaruvchilar funksiyalar nazariyasi deb atalgan bo’lib, unda asosiy tushunchalar berilgan. Jumladan, kompleks sonlar haqida, kompleks hadli sonli va funksional qatorlar haqida asosiy tushunchalar berilgan va misollar orqali mavzu yoritilgan. Mening ushbu kurs ishimni III-kurs talabalari Kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazaryasi fanidan qo’llanma sifatida foydalansa bo’ladi. Kurs ishi ancha tushunarli va oson tilda yozilgan bo’lib, undan qiyinchiliksiz foydalanishlari mumkin.
Ushbu kurs ishimning so’nggi qismida foydalanilgan adbiyotlar va qo’llanmalar keltirilgan.
Adabiyotlar
1. Г. Худайберганов, A. Ворисов., Х. Мансуров, “Комплекс анализ”, Тошкент, “Университет”, 1998
2. М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. Москва, “Наука”, 1998
3. А. Саьдуллев, Г. Худайберганов, A. Ворисов, Х. Мансуров. Математик анализ курсидан мисол ва масалалар туплами. 3-том, Тошкент, “Узбекистон” 2000
4. Ф.Д. Гахов. Крайевие задачи. Москва, “Наука”, 1977
5. Ш. Маⱪсудов, М. Салохиддинов. Комплекс ўзгарувчининг функсиялари, ,, ўⱪитувчи”Тошкент 1970
Do'stlaringiz bilan baham: |
