1. Sistema harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teorema

1.Sistema harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teorema.

Mexanik sistema N ta nuqtadan tashkil topgan bo’lsin.Sistemaning ixtiyoriy nuqtasiga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar hamda ichki kuchlarning teng ta’sir etuvchilari mos ravishda bo’lsin. U holda sistema nuqtalari harakatining differensial tenglamalari quyidagicha yoziladi:



(21.14) tenglamalar sustemasini qo’shamiz:



Bunda -sistemaning harakat miqdori ; -tashqi kuchlarning bosh vektiri.Ichki kuchlarning xossasiga ko’ra



Natijada (21.15)ni quyidagicha yozish mumkin :



(21.16) tenglama sistema harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teoremani ifodalaydi:sistema harakat miqdorining vaqt bo’yicha birinchi hosilasi sistemaga ta’sir etuvchi tashqi kuchlarning bosh vektoriga teng.

(21.16) ni Dekart koordinatalar o’qlariga proeksiyalab , sistema harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teoremani skalyar ko’rinishda yozamiz:



(21.17)



Ya’ni,sistema harakat miqdorining biror o’qdagi proeksiyasidan vaqt bo’yicha olingan hosila sistemaga ta’sir etuvchi kuchlar bosh vektorining mazkur o’qdagi proeksiyasiga teng.

Sistema harakat midorining chekli vaqt ichida o’zgarishini aniqlash uchun (21.16) ni ga ko’paytirib integrallaymiz:

yoki (21.18)

Bunda bilan boshlang’ich paytdagi , bilan ixtiyoriy vaqtdagi sistemasning harakat miqdori belgilangan : vaqt ichida sistemaga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar bosh vektorining impulsi.

(21.18) ifoda Chekli vaqt ichida sistema harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teoremani ifodalaydi : sistema harakat miqdorining chekli vaqt ichida o’zgarishi sistemaga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar bosh vektorining shu vaqt ichidagi impulsiga teng.

(21.18) ni Dekart koordinatalar o’qlariga proeksiyalab quyidagini yozamiz:

,

, (21.19)

,

Sistema harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teorema bilan sistema massalar markazining harakati haqidagi teoremalar orasidagi munosabatni aniqlaymiz.

yoki

Bu munosabat sistema massalar markzi harakati haqidagi teoremani ifodalashi bizga ma’lum.

Shunday qilib, umuman olganda , sistema massalar markazining harakati haqidagi teorema va sistema harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teorema bitta teoremaning ikki xil ko’rinishini ifodalaydi.

2.Sistema kinetic momentning o’zgarishi haqidagi teorema.

Mexanik sistema N ta nuqtadan tashkil topgan bo’lsin. Sistemaning biror ixtiyoriy nuqtasini olib ,unga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar hamda ichki kuchlar teng ta’sir etuvchilari mos ravishda bilan belgilaymiz.

Moddiy nuqta uchun chiqarilgan harakat miqdori momentining o’zgarishi haqidagi teoremani mexanik sistemaning har bir nuqtasi uchun qo’llab quyidagiga ega bo’amiz:

Bu yerda - nuqta harakat miqdorining O markaziga nisbatan momenti.Bu ifodalarni qo’shamiz:

Ichki kuchlarning xossasiga ko’ra

U holda

yoki (21.48)

Bu yerda - sustema nuqtalariga ta’sir etuvchi tashqi kuchlarning O markazga nisbatan bosh momenti.

(21.48) ifoda sistema kinetic momentining o’zgarishi haqidagi teoremani ifodalaydi: mexanik sistemaning biror qo’zg’almas markazga nisbatan kinetik momentning vaqt bo’yicha hosilasi sistema nuqtalariga ta’sir etuvchi tashqi kuchlarning shu markazga nisbatan bosh momentiga teng.

(21.48) ifodaning har ikkala tomonini o’qlariga proeksiyalaymiz:

Demak, mexanik sistema biror qo’zg’almas o’qqa nisbatan kinetik momentidan vaqt bo’yicha olingan hosila sistema nuqtalariga ta’sir etuvchi tashqi kuchlarning shu o’qqa nisbatan momentlarining yig’indisiga teng.

Sitema kinetik momentining o’zgarishi haqidagi teoremadan qattiq jismning aylanma harakatini o’rganishda, giroskoplar nazariyasida keng foydalaniladi.

Bu teoremaning afzalligi shundaki, sistema harakat miqdorining o’zgarishiga oid teoremadagidek,oldindan noma’lum bolgan ichki kuchlar qatnashmaydi.

3.Sistema kinetic energiyasining o’zgarishi haqidagi teorema.

Mexanik sistema N ta moddiy nuqtalardan tashkil topgan bo’lsin.Sistemaning har bir nuqtasiga aktiv kuchlardan tashqari , bog’lanish reaksiya kuchlarini ham qo’yamiz va sistema nuqtalariga qo’yilgan kuchlarni ichki va tashqi kuchlardan iborat ikki guruhga ajratamiz.Sistemaning nuqtasiga ta’sir etayotgan tashqi kuchlar hamda ichki kuchlarning teng ta’sir etuvchilari mos ravishda bo’lsin. U holda har bir nuqtasini va kuchlar ta’sirida erkin nuqta deb qarash mumkin.Sistemaning har bir nuqtasi kinetik energiyasining o’zgarishi haqidagi teoremaning differensialli ifodasi quyidagicha yoziladi: